3.2.1 对数第二课时教学实录

课题：对数

授课教师：丁曼

教材：苏教版必修一3.2.1

一、教学目标：

1、理解对数的概念；

2、能熟练地进行指数式与对数式的互化；

3、了解常用对数与自然对数以及这两种对数的记法；

4、了解对数恒等式；

5、了解对数的发明历史以及对数在简化运算中的作用；

6、让学生感受化归与转化的思想，能用相互联系的观点辩证地看问题，培养他们数学地分析问题的意识。

二、教学重点、难点：

重点

：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化。

难点

：（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解。 三、教学方法与教学手段：

教学方法：问题解决法、讨论法、类比分析与发现. 教学手段：采用多媒体辅助教学. 四、教学过程设计

（一）创设情境，问题导入

一张纸最多可以对折几次？10次、20次，甚至是n次？可等你试完以后，发现顶多也就能折七八次。关于这个问题，一直以来都有个说法，就是一张纸无论怎么对折，都不可能超过9次，目前的世界纪录是13层，用了3218米的卫生纸，

折叠了13次，打破了关于折纸的“谣言”。理论上纸无限大或无限薄的话可折无限次。如果我们能把一张1mm厚的纸折100次，可以算一下它的厚度2100×0.001m=1267650600228229401496703205.376m≈1.267×1027m，月球到地球的距离为40万公里左右，粗略为4×108m，因此远远的超过了月

地距离。那我提出一个问题，折几次恰超过月地距离呢？

对折次数

0 1 2 3 4 5 …

纸的层度

1=20

2=21

4=22

8=23

16=24

32=25

…

纸的厚度

20×0.001 m 21×0.001 m 22×0.001 m 23×0.001 m 24×0.001 m 25×0.001 m …

设对折x 次纸的厚度恰为月地距离

则有2x×0.001=4×108 可化为2x=4×1011

该如何求取问题中的x呢？

（二）动脑思考，探索新知

一般地，如果

记作：真数

返回问题

则x=log24×1011

通过excel中的自带函数进行计算x≈38.54121 故一张1mm厚的纸折39次恰超过月地距离

思考：在中，

①底数a的范围为什么规定大于零且不等于1？

②真数N的范围是什么？

③对数b一定是正数吗？

两个重要对数

①常用对数：以10为底的对数log10N,简记为: lgN ②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数logeN

简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e为底的对数) （三）背景介绍，激发兴趣

对数背景：对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617年）男爵。他一生研究数学，以发明对数运算而著称。那时候天文学家Tycho Brahe（第谷，1546～1601）等人做了很多的观察，需要很多的计算，而且要算几个数的连乘，因此苦不堪言。1594年，他为了寻求一种球面三角计算的简便方法，运用了独特的方法构造出对数方法。这让他在数学史上被重重地记上一笔，然而完成此对数却整整花了他20年的工夫。1614年6月在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》（"Mirifici logarithmorum canonis descriptio"）中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数：Nap logX。1616年Briggs（亨利·布里格斯，1561 - 1630）去拜访纳皮尔，建议将对数改良一下以十为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。可惜纳皮尔隔年于1617年春天去世，后来就由Briggs以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，以10为底列出一个很详细的对数表。并且于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》，于书中详细阐述了对数计算和造对表的方法。

纳皮尔对数字计算特别有研究，他的兴趣在于球面三角学的运算，而球面三角学乃因应天文学的活动而兴起的。他重新建立了用于解球面直角三角形的10个公式的巧妙记法——圆的部分法则（"纳皮尔圆部法则"）和解球面非直角三角形的两个公式——"纳皮尔比拟式"，以及做乘除法用的"纳皮尔算筹"。此外，他还发明了纳皮尔尺，这种尺子可以机械地进行数的乘除运算和求数的平方根。在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。

纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点。 所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣。伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749-1827）曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”。

（四）巩固知识，典型例题

1 将下列指数式写成对数式：

（1）2416 （2）33b1 271a（3）520 （4）0.45

22 将下列对数式写成指数式：

（1）log51253 （2）log132 3（3）log10a1.069

3 求下列各式的值：

（1）log264 （2）log927

（五）开拓视野，性质探究

探究活动1 求下列各式的值：

（1）log31 0 （2）lg1 0 （3）log0.51 0 （4）ln1思考：你发现了什么？

“1”的对数等于零，即loga10 类比：

a0 0 1

探究活动2 求下列各式的值：

（1）log33 1 （2）lg10 1 （3）log0.50.5 1 （4）lne 1 思考：你发现了什么？

底数的对数等于“1”，即logaa1 类比：

a探究活动3 求下列各式的值：

log23log27（1） 3 （2）71a

0.6 0.6 （3）0.4log0.489 89 logaNaN

对数恒等式:思考:你发现了什么? 探究活动4 求下列各式的值: 54log0.9 5 log3(1) 4 (2)0.938lne 8 (3)思考:你发现了什么? 对数恒等式:loga探究活动5 如何利用科学计算器计算对数？lg N,lnN都可直接计算，但若面对的不是常用对数、自然对数该怎样利用计算器计算呢，下节课我们学习了对数的运算性质和相关公式后就可以利用计算器进行任何底数对数的求值问题了。

（六）归纳小结，加深印象

１．对数与指数的互化。２．两类特殊的对数。①常用对数

②自然对数

３．对数的性质：

ann

①．负数和零没有对数．

②．１的对数等于零，即③．底数的对数等于１．即④．对数恒等式

教学设计说明；

本节课是苏教版教材必修1第三章对数函数内容的第一课时，也就是对数函数的入门。对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。最后的环节我安排了5个探究问题，帮助学生自主寻找新对象的性质，以期加强学生对问题的深入理解，最后对于使用科学计算器计算对数问题充分留白，为后续教学埋下伏笔，激发学生进一步的学习热情。