2.2.1 函数的单调性优质课教案推荐

§2.1.2函数的简单性质（1）

课 型：新授课

课时计划：1课时

教学目的：1．理解函数的单调性及其几何意义；

2．能判断或证明一些简单函数的单调性；

3．利用函数图象直接写出函数的单调区间．

教学重点：函数单调性的判断和证明

教学难点：单调性定义的理解

教学方法：讲授、演练式

教学过程：

一、新课引入

试作出下列函数的草图，并根据图象观察从左到右函数图象的变化有何特征？

x2，x≥0（1）y＝－2x＋1，y＝．

2x，x＜01（2）y＝2x＋1，y＝（x＞0）．

x结论：第一组函数的图象从左到右总体连续上升，第二组函数的图象从左到右连续下降．函数图象从左到右不断上升可以理解为随着自变量的增大而函数值增大，图象从左到右连续下降可以解释为随着自变量的增大而函数值减小．

对于函数图象在一定范围内随着自变量增大而函数值始终增大或始终减小的性质，就是我们今天要学习的函数的简单性质之一“函数的单调性”．

二、新课讲授

1．函数单调性的定义及说明

定义：一般地，若函数y＝f

(x)的定义域为A，区间IA．

如果对于I内的任意两个自变量x1、x2，都有f

(x1)＜f

(x2)，称函数y＝f

(x)在区间I上是单调增函数，I称为y＝f

(x)的单调增区间．

如果对于I内的任意两个自变量x1、x2，都有f

(x1)＞f

(x2)，称函数y＝f

(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f

(x)的单调减区间．

函数增区间和减区间统称为单调区间．

判断引入问题中的函数的单调性并说出单调区间．

2．例题解析

例1．画出下列函数的图象，并写出单调区间：

1（1）y＝－x2＋2；（2）y＝；（3）y＝|x＋1|；（4）课本气温变化图．

x——第

1 页

（共

2页）——

说明：

①函数的单调性是针对定义域或定义域内某个区间而言的，它有可能反映函数的局部性质，在某个区间上单调并不能说明函数在整个定义域上是单调函数．

②利用函数图象判断函数单调性和单调区间是一个重要的方法．

1＋x例2．利用单调性定义证明：函数f

(x)＝－在区间（－∞，0）上是单调增函数．

x［归纳］用单调性定义证明的基本步骤：①设值；②作差变形（因式分解、配方、通分、有理化等）；③定号（f

(x1)－f

(x2)的符号）；④判断（由单调性定义判断）．

对于一些函数的图象可能不容易作出，判断单调性往往采用定义法．

例3．证明：函数y＝x

在定义域上是单调增函数．

析：由y＝x

得x≥0，∴定义域为（0，＋∞）

设0＜x1＜x2，则y1＝x1，

y2＝x2

∴y1－y2＝x1－x2＝(x1－x2)(x1＋x2)x1－x2＝

x1＋x2x1＋x2∵0＜x1＜x2，∴x1≥0，x2＞0，∴x1－x2＜0且x1＋x2＞0

∴y1－y2＜0即y1＜y2

由单调性定义，函数y＝x

在定义域上是单调增函数．

说明：该函数的图象我们并不熟悉，所以采用定义法证明显得自然．

例4．证明：函数y＝x3在区间(－∞，0)上是单调增函数．

补充立方差公式：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2) 变式：若将区间“(－∞，0)”改为“(－∞，＋∞)”再证明．

三、课堂练习

§2.1.3练习1、2 四、归纳小结

（1）函数单调性反映了函数的局部性质；

（2）函数单调性的判断可以利用定义法和图象法．

五、作业布置

导学练

函数的单调性（1）

六、板书设计

§2.1.2函数的简单性质（1）

举例

1．函数单调性的定义

2．函数单调性判断、证明

七、教学反馈

——第

2 页

（共

2页）——