3.1.2 指数函数优质课教案设计

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第7讲

圆的方程

A组

一、选择题

1．若点(2a,a1)在圆x2(y1)25的内部，则a的取值范围是 (

) A．(,1]

C．(2,5)

[答案] B B．(1,1)

D．(1,)

[解析]

点(2a,a1)在圆x2(y1)25的内部，则(2a)2a25，解得1a1. 2t1t222,2．点P与圆xy1的位置关系是 (

) 221t1tA．在圆内

C．在圆上

[答案] C 22B．在圆外

D．与t有关

221t22t1t[解析] PO1，故点P在圆上．

2221t1t1t3．若点P(1,1)为圆(x3)2y29的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为

(

) A．2xy30

C．x2y30

[答案] D [解析]

圆心C(3,0)，kPCB．x2y10

D．2xy10

kMNkPC1，kMN1，又点P是弦MN的中点，PCMN，210.

弦MN所在直线方程为y12(x1)，即2xy2，4．点M在圆(x5)2(y3)29上，则点M到直线3x4y20的最短距离为

(

) A．9

B．8

C．5

D．2

[答案] D [解析] 圆心(5,3)到直线3x4y20的距离为d又r3，则M到直线的最短距离532. 5．若圆xy2ax3by0的圆心位于第三象限，那么直线xayb0一定不经过 (

) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

[答案] D 223543234225. 3b，

21b1bb0.直线yx，则a0，其斜率k0，在y轴上的截距为0，aaaa[解析] 圆xy2ax3by0的圆心为a,22

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所以直线不经过第四象限．

6．在圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 (

) A．52

C．152

[答案] B B．102

D．202

[解析] 圆x2y22x6y0化成标准方程为(x1)2(y3)210，则圆心坐标为M(1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E的最长弦AC为点E所在的直径，则AC210.BD是过点E的最短弦，则点E为线段BD的中点，且ACBD，E为AC和BD的交点，则由垂径定理可是BD2BMME22210[(10)2(31)225.从而四边形ABCD的面积为1ACBD2121025102. 27．若点(2a,a1)在圆x2y22y5a20的内部，则a的取值范围是 (

) 444A．

(,]

B．(,)

53333C．(,)

D．(,)

44[答案] D [解析] 化圆的标准方程为x2(y1)25a21，点(2a,a1)的圆的内部，则2，解得a(2a)2(a11)5a213. 4228．若直线l:axby10始终平分圆M:xy4x2y10的周长，则(a2)2(b2)2的最小值为 (

) A．5

B．5

C．25

D．10

[答案] B [解析] 由题意，得直线l过圆心M(2,1)，

则2ab10，则b2a1，

所以(a2)(b2)(a2)(2a12)5a55，

所以(a2)(b2)的最小值为5. 二、填空题

9．已知圆C经过A(5,1)、B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________. [答案] (x2)y10

[解析] 设所求圆C的方程为(xa)yr，

把所给两点坐标代入方程得

222a2(5a)1r，解得，

2222r10(1a)3r22所以所求圆C的方程为(x2)y10. 222222222222

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10．以直线2xy40与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为__________. [答案] x2(y4)220或(x2)2y220

[解析] 令x0得y4，令y0得x2，

直线与两轴交点坐标为A(0,4)和B(2,0)，以A为圆心过B的圆方程为x2(y4)220，以B为圆心过A的圆方程为(x2)2y220. 2211．若实数x、y满足x2y24x2y40，则xy的最大值是________.

[答案] 53

2222[解析] 关键是搞清式子xy的意义．

实数x、y满足方程xy4x2y40，所以(x,y)为方程所表示的曲线上的22动点. xy(x0)2(y0)2，表示动点(x,y)到原点(0,0)的距离．将圆的方程写成标准形式得(x2)2(y1)29，它表示以C(2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内．连接CO交圆于点M，N，由圆的几何性质可知，MO的长即为所求的最大值．

三、解答题

12.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x3y60，点T(1,1)在AD边所在的直线上. (1)求AD边所在直线的方程；

(2)求矩形ABCD外接圆的方程．

22

[答案] (1) 3xy20；(2) (x2)y8

[解析] (1)因为AB边所在直线的方程为x3y60，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3. 又因为点T(1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y13(x1)，即3xy20. x3y60(2)由，解得点A的坐标为(0,2)．

3xy20因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)．

所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．

又|AM(20)2(02)222，

22从而矩形ABCD外接圆的方程为(x2)y8. 13．求圆心在直线4xy0上，且与直线l:xy10切于点P(3,2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径.

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[答案] (x1)2(y4)28，圆心(1,4)，半径22. [解析] 设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意有4ab04ab0a1b2

，化简得，解得ba51b4. a3(3a)2(2b)2r2r28222(3a)(2b)r所求圆的方程为(x1)2(y4)28，它是以(1,4)为圆心，以22为半径的圆．

14．判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程. (1)x2y22x10；

(2)x2y22ay10；

(3)xy20x1210；

(4)xy2ax0. [答案] 见解析

[解析] (1)原方程可化为(x1)2y20，它表示点(1,0)，不表示圆．

(2)原方程可化为x2(ya)2a21，它表示圆心为(0,a)，半径为a21的圆，标准方程为x(ya)222222a1. 22(3)原方程可化为(x10)2y2210，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆．

(4)原方程可化为(xa)2y2a2. ①当a0时，方程表示点(a,0)即(0,0)，不表示圆；

②当a0时，方程表示以(a,0)为圆心，半径为|a|的圆，

标准方程为(xa)ya. 15．已知方程xy2(m3)x2(14m)y16m90表示一个圆. (1)求实数m的取值范围；

(2)求该圆的半径r的取值范围；

(3)求圆心C的轨迹方程．

[答案] (1) (2224222112047,1)

；(2)(0,]；(3)(x3)2(y1)(x4)

7477[解析] (1)要使方程表示圆，则

4(m3)24(14m2)24(16m49)0，

即4m24m36432m64m64m360，

整理得7m6m10，解得(2)r222441m1. 714(m3)24(14m2)24(16m49)

2321627(m). 7m6m17747. 0r7

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xm3(3)设圆心坐标为(x,y)，则. 2y4m112消去m可得(x3)(y1)．

4120m1，x4. 771202x4)．

故圆心C的轨迹方程为(x3)(y1)(47B组

一、选择题

1．点P(4,2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是(

) A．(x2)2(y1)21

C．(x4)2(y2)24 [答案] A

B．(x2)2(y1)24

D．(x2)2(y1)21

4x0x2[解析] 设圆上任一点为Q(x0,y0)，PQ的中点为M(x,y)，则,解得y2y02x02x4，因为点Q在圆x2y24上，所以(2x4)2(2y2)24，即y02y2(x2)2(y1)21. 222．

由直线yx2上的点P向圆C:(x4)(y2)1引切线PT(T为切点)，当PT最小时，点P的坐标是(

) A．(1,1) C．(2,0)

[答案] B

B．(0,2)

D．(1,3)

[解析] 根据切线长、圆的半径和圆心到点P的距离的关系，可知PTPC1，2故PT最小时，即PC最小，此时PC垂直于直线yx2，则直线PC的方程为yx2，解得点P的坐标为(0,2)．

y2(x4)，即yx2，联立方程yx23．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为（

）

A．x(y2)1 2222

B．x(y2)1

D．x(y3)1 2222C．(x1)(y3)1 [答案] A 22[解析] 方法一：设圆心坐标为(0,b)，则由题意知(01)(b2)=1，解得b2故圆的方程为x(y2)1．

方法二(数形结合法)：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆22

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的方程为x2(y2)21．

方法三(验证法)：将点(1,2)代入四个选择项，排除B， D，又由于圆心在y轴上，排除C．

4．如果方程x2y2DxEy4F0(D2E24F0)所表示的曲线关于yx对称，则必有（

）

A．DE B．DF C．EF D．DEF

[答案] A [解析] 由已知D2E24F0，可知方程x2y2DxEy4F0表示的曲线为圆．若圆关于yx对称，则知该圆的圆心在直线yx上，则必有DE. 225．方程(xy1)xy40所表示的图形是（

）

A．一条直线及一个圆 B．两个点 C．一条射线及一个圆 D．两条射线及一个圆

[答案] D

xy102222(xy1)xy40[解析] 方程即xy4或2.因为直线圆2xy422相交，所以要去掉直线在圆内部的部分，所以方程(xy1)xy40所表示的图形是两条射线及一个圆。

6．

若P(2,1)为圆(x1)y25的弦AB的中点，则直线AB的方程是 (

) A．xy30 B．2xy30 C．xy10 D．2xy50

[答案] A [解析] 点P(2,1)为弦AB的中点，又弦AB的垂直平分线过圆心(1,0)，

22弦AB的垂直平分线的斜率k直线AB的斜率k'1，

0(1)1，

12故直线AB的方程为y1x2，即xy30. 227．圆xy2y10关于直线yx对称的圆的方程是 (

) A．(x1)+y2

C．(x1)+y4

[答案] A 2222B．(x1)+y2

D．(x1)+y4

222222[解析] 圆xy2y10的圆心坐标为(0,1)，半径r2，圆心(0,1)关于直

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线yx对称的点的坐标为(1,0)，故所求圆的方程为(x1)2+y22. 8．N为圆x2y21上的一个动点，平面内动点M(x0,y0)满足y01且OMN30(O为坐标原点)，则动点M运动的区域面积为（ ）

84242333

A.3 B.3 C.3 D.33

[答案] A [解析] 由题意知当M在x2y24上时，从M向x2y21做的切线与OM成60角，所以M应在x2y24内，又因为y01，所以M在直线AB上面或在直线DE下面，因此动点M运动的区域面积为两个弓形ABC与DEF的面积之和48S2323. 33y43CA-5-4-3-2-121BO123456xD-1E-2F-3-4

二、填空题

9．（2014陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为________．

[答案] x(y1)1

[解析] 因为点(1,0)关于直线yx对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为22(0,1)，半径为1，于是圆C的标准方程为x2(y1)21. 10．已知两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则面积的最小值是________．

[答案] 32

[解析] lAB:xy20，圆心(1,0)到l的距离d则AB边上的高的最小值为故ABC3，

231. 213ABC面积的最小值是22(1)32. 2222PB，B，APB60，11．由动点P向圆xy1引两条切线PA、切点分别为A、

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则动点P的轨迹方程是 . [答案] x2y24

[解析]

设P(x,y).APB60，OPA30.OAAP，OP2OA2，x2y22，化简得x2y24，动点P的轨迹方程是x2y24. 三、解答题

12．（1）求圆心在x轴上，且与直线yx相切于点(1,1)的圆的方程；

（2）已知圆C过点P1,1，且与圆M:x2y2r2r0关于直线22xy20对称,求圆C的方程. [答案] （1）(x2)y2（2）x2y22

[解析] （1）根据题意可设圆心(a,0)，则22101a2，即圆心为(2,0)，半1a径r(21)2(01)22，则所求圆的方程为(x2)2y22. a2b22022（2）设圆心Ca,b， b21a2a0又P1,1在圆上所以圆C的方程为x2y22. b013．已知圆M的圆心在直线2xy60上，且过点(1,2)、(4,1)．

（1）求圆M的方程；

（2）设P为圆M上任一点，过点P向圆O:x2y21引切线，切点为Q．

试探究：平面内是否存在一定点R，使得不存在，请说明理由．

[答案]（1）(x4)2(y2)29，（2）存在点R(2,1)或(PQ为定值？若存在，求出点R的坐标；若PR21,)满足题意．

55[解析]（1）由题意知圆心必在两点(1,2)、(4,1)连线段的中垂线：yx2上，yx2x4又在直线2xy60上，联立，所以圆心为(4,2)，半径为2xy60y2

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(41)2(22)23，因此圆方程为(x4)2(y2)29. （2）设P(x,y)，R(a,b)，则(x4)2(y2)29，即x2y28x4y11，

又PQ2x2y21，PR2(xa)2(yb)2x2y22ax2bya2b2，

故PQ28x4y12，PR2(82a)x(42b)ya2b211，

又设PQt为定值，故8x4y12t2[(82a)x(42b)ya2b211]，

PR2a2528(82a)ta121可得4(42b)t2，解得b11或b2，

512(a2b211)t2t2110t23综上，存在点R(2,1)或(21,)满足题意．

5514．已知动点M到点(8,0)的距离等于M到点(2,0)的距离的2倍. （1）求动点M的轨迹C的方程；

（2）若直线ykx5与轨迹C没有交点，求k的取值范围；

（3）已知圆x2y28x8y160与轨迹C相交于A,B两点，求|AB|

[答案] (1) x2y216

（2）33k

44（3）42

2222[解析] 解：（1）设M(x,y)，则(x8)y2(x2)y，

整理得x2y216，即动点M的轨迹C的方程为x2y216. x2y216（2）由，消去y并化简得(1k2)x210kx90

ykx5因为直线ykx5与轨迹C没有交点，所以100k236(1k2)0

2即16k90，解得33k. 44

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（3）圆x2y28x8y160的圆心坐标为C1(4,4)，半径r4 x2y216由2得xy40这就是AB所在的直线方程， 2xy8x8y160又圆心C1(4,4)到直线AB的距离d|14144|112222， 所以|AB|2r2d2216842. 或：AB所在的直线方程xy40与x2y216的交点坐标为A(4,0),B(0,4)， 所以|AB|424242. 15．

已知半径为2，圆心在直线yx2上的圆C. （Ⅰ）当圆C经过点A(2,2)且与y轴相切时，求圆C的方程；

（Ⅱ）已知E(1,1),F(1,3),若圆上C存在点Q，使QFQE32 ,求圆心的横坐标a的取值范围. [答案]（Ⅰ）(x2)2y24；（Ⅱ）3a1

[解析]（Ⅰ）圆心在直线yx2上，

22可设圆的方程为(xa)2[y(a2)]24，

其圆心坐标为(a,a2)； 圆经过A(2,2)且与y轴相切，

22(2a)[2(a2)]4

，解得a2，

有a2所求方程是：(x2)2y24 （Ⅱ）设Qx,y，由QF2QE232得：x1y32222x1y132，解得y3，所以点Q在直线y3上。

22因为点Q在圆C:(xa)[y(a2)]4上，所以圆C与直线y3必有交点。

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因为圆C圆心到直线y3的距离d(a2)32，解得3a1。

所以圆C的横坐标a的取值范围是3a1。