3.4.1 函数与方程教学设计第二课时

专题《函数的零点问题》教学设计

一．教学内容解析：

本节课是高三一轮函数章节复习之后对重点内容设置的微专题复习课，主要复习解决零点问题的两种基本思路：①数形结合；②导数法．通过对零点问题的多级设计，实现知识的层层解析，思维的步步深入，方法的自然迁移．教学过程中，引导学生面对新问题时主动联想已解决问题运用的各种策略，通过观察、判断、分析、比较寻得新问题的解决方法．在问题的逐级递进中，让学生逐渐领悟解决该类问题常用的思想方法，并在此基础上优化方法，从而让学生活用知识，升华思想，提高能力，在不同的复合情境中抓住题目的本质，寻找解题的规律，“以不变应万变”．根据教学内容，微专题计划两课时完成．

二．教学重，难点：

重点：数形结合探究零点问题、导数法探究零点问题。

难点：如何引导学生识别题目的类型、联想方法、选择思路，在不同的复合情境中抓住题目的本质，寻找恰当的、最优的方法解决零点问题。

三．学生学情分析

此课的授课对象为高三文科班的学生．学生此时刚好复习完了函数部分的所有知识点，会画简单函数的图象，会通过图象研究、理解函数的性质，对零点的求解方法和所涉及到的基本题型也有了一定的认识．但在深刻度上还有所欠缺．所以在教学中要引导

学生归类题型，总结方法，注重题与题之间的连通性和变通性，从而在浩如烟海的数学题目中寻找解题的规律。

四．教学过程

：

1.以表格形式统计近五年江苏高考(文)对函数零点的考查情况。目的在于让学生了解高考对函数零点问题考察的题型以及深度，是学生复习更有针对性。

2x1‚x≤12.问题导入：设函数f(x)4(x1)(x2)‚ x1，则函数f(x)的零点为_____．

设计意图：让学生回忆函数零点的定义，进一步转化为函数图象与x轴交点的横坐标。

教学方法：展示三位同学画的图像，引导学生指出图象不规范等问题，从而要求同学注重画图的准确性，以免影响解题结果。

3.变式1：函数2x1,

x≤1的零点个数是_________．

f(x)2x6lnx,

x1设计意图：此问题由学生课前预习完成，帮助学生回顾函数零点问题的处理方法：一个原理、两种方法、三种转换．让学生意识到对于分段函数来说，还得根据每一段的定义域来求零点．为后面变式探究打下基础．

小结：在师生的共同探讨下，收获如下：解析式确定的零点问题，不管是不是分段函数，零点问题概括起来就是一个原理——零点存在性定理，两种方法——解出来或画出来；三种转化——转化为f(x)0型，f(x)c型或者f(x)g(x)型．而分段函数的零点在此基础上还要结合各段的定义域去确定零点．所蕴含的思想方法有：函数与方程、数形结合、转化与化归．

4.回归教材（苏教版必修1,第97页习题1（1））

说明函数f(x)1gx2x5在区间（1,3）上存在零点。设计意图：变式1第二段函数可通过零点存在性定理说明只有1

个零点，可以在课本上找到该题的影子，从而要求学生在一轮复习中不能丢掉课本。

5.通过上面两题让学生回忆基础知识，基本方法：

函数零点的定义，函数零点的处理方法。

6．变式2（必修1，88页例1改编）判断函数f(x)xlnx2的零点个数．

方法一：因为f(x)xlnx2，所以f(x)11x1，所以xx上单调递减，在(1,)上单调递增，所以f(x)minf(1)1，又因为当x接近0时函数值为正数，同时f(e2)0，结合f(x)的图象（图1）可知f(x)的零点有2个．

方法二：判断函数f(x)xlnx2的零点个数，即判断方程xlnx20根的个数，即判断函数yx2与函数ylnx的交点个数，由图2可知，它们的交点有两个，所以f(x)的零点有2个．

方法三：判断函数f(x)xlnx2的零点个数，即判断方程xlnx20根的个数，即判断函数yx与函数ylnx+2的交点个数，由图2可知，它们的交点有两个，所以f(x)的零点有2个．

设计意图：通过变2进一步巩固第一环节中解决零点问题的方法，即一个原理，两种方法，三种转化．同时指出不同之处为：不再是分段函数，函数的单调性必须借助于求导才能判断．由学生课前完成．

7.变式3：判断函数f(x)xlnx2a的零点个数．

方法一：因为参数在常数项的位置，它是例2中的函数经过上下平移得到的，由图象易得：

当a1时，无零点；当a1时，有一个零点；当a1时，有两个零点．

方法二：由题意，原问题即判断函数yx2a与函数ylnx的交点个数，在例2的方法二的基础上，求出函数ylnx的斜率为1的切线方程为yx1，通过平移函数yx2易得同样结论．

方法三：运用分离参数法．

转化为判断函数yxlnx2与ya的交点个数问题．

由例2中方法一的图象易得同样结论．

设计意图：添加参数，参数在常数项的位置．

f(x)(0,1)在

8.变式4：若函数f(x)xlnx2a在区间[1,e2]上有一个零点，求a的e取值范围．

设计意图：添加区间后，变式3下的三种方法均可行，帮助学生实现方法的自然迁移．

9.链接高考：

xx1.（2016江苏卷19（1））已知函数f(x)ab(a0,b0,a1,b1)

1(1)设a2,b求方程f(x)2的根。

22|x|, x≤22.(2017天津，文8)已知函数

f(x)(x2)2,x2，函数

g

(

)



3



f

(2



x

)

则函数

x的零点个数为_________ yf(x)g(x)设计意图：1.检测学生对本节课定义，思想方法等的掌握情况。2.以高考题作为习题可以提高学生的热情，同时进一步提高学生的认识。