2.2.1 函数的单调性第一课时导学案

2.2函数的简单性质（1）

【教学目标】能结合图象理解增函数、减函数的概念；掌握利用定义证明和判断函数单调性的方法． 【教学重点】结合函数的图象理解函数单调性的概念；

【教学难点】利用定义来证明或判断函数的单调性．

【教学过程】

一、引入：

问题1：如图，气温θ是关于时间t的函数，记为θ＝f(t)，观察这个函数的图象，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的或是降低的？

问题2：初中学习过的正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的图象是如何来描述它的上升（下

降）趋势的？

问题3：怎样用数学语言刻画上述时间段内“随时间的增加气温逐渐升高”这一特征？

问题4：对于任意的t1、t2∈[4,14]时，当t1

问题5：如何用x与f(x)来描述当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大？

二、新授内容：

1．单调性的概念：

一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间为IA．如果对于区间I内的______________，当________时，都有____________，那么就说yf(x)在区间I上是单调增函数，I称为yf(x)的单调增区间；

如果对于区间I内的________________，当________时，都有___________，那么就说yf(x)在区间I上是单调减函数，I称为yf(x)的单调减区间．

2．函数的单调性：

是函数在定义域内的某一区间上的性质，应此，在研究函数的单调性时首先要考虑函数的定义域．

3．函数yf(x)在区间I上具有单调性是指：函数yf(x)在区间I上是增函数或减函数，这时区间

I称为函数yf(x)的单调区间．

问题6：你能找出问题1中气温图中的单调区间吗？ 4．判断或证明函数的单调性常用：定义法，而求一个函数的单调区间则经常是先画出这个函数的图象，

再通过函数的图象写出函数的单调区间．

5．单调区间的写法：若区间的端点在定义域内，单调区间可写成________，也可写成________，若函数

在区间的端点处无定义，单调区间必须写成_________．

6．若干个单调性相同的单调区间不能进行并集，它们之间用“逗号”隔开即可．

例1．画出下列函数的图象，并指出其单调区间．

反思：

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（1）f(x)23x；

（2）f(x)x22；

（3）f(x)

思考：能否说函数f(x)

例2．求证：函数f(x)

【变式拓展】

1(x0)．

x1在定义域上是减函数？

x11在区间(,0)上是单调增函数．

x求证：函数f(x)x31在区间(,0]上是单调减函数．拓展：若区间为（∞，+∞）如何证？

例3．求证：函数f(x)x

总结：用定义法证明函数单调性的一般步骤：

．

三、课堂反馈：

1．函数f(x)x21在(0,)上是单调

函数．

2．下图为函数yf(x)的图象，则函数yf(x)

单调增区间为

；

单调减区间为

．

1在区间(0,1]上是单调减函数，在区间[1,)上是单调增函数．

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x3．试讨论函数f(x)＝2的单调性．

x＋1

四、课后作业：

姓名：___________

成绩：___________ 1．函数f(x)x22x3

的单调递增区间为__________，单调递减区间为

．

2．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是_____

___．(填序号) 3①y＝x2－2；②y＝；③y＝1＋2x；④y＝－(x＋2)2．

x3．若f(x)在R上是增函数，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)______f(－a)＋f(－b)．(填“<”、“>”或“＝”) 24．函数yx2x3

的单调增区间为_______________，单调减区间为

．

5．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则函数

yf(x)单调增区间为

；

单调减区间为

。

6．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的

x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中错误的是________．(填序号) ①fx1－fx2x1－x2>0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；③f(a)0. x1－x2fx1－fx27．下列说法正确的是

．

（1）定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1)，则函数f(x)是R上的单调增函数；

（2）定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1)，则函数f(x)

在R上不是单调减函数；

（3）定义在R上的函数f(x)在区间,0上是单调增函数，在区间0,上也是单调增函数，

则函数f(x)在R上是单调增函数；

（4）定义在R上的函数f(x)在区间,0上是单调增函数，在区间0,上也是单调增函数，

则函数f(x)在R上是单调增函数．

8．画出下列函数的图象，并指出其单调区间：

（1）y13x；

（2）y

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12；

（3）yx24x；

（4）yx2x2．

x

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9．证明：函数

f(x)x3+x

在R上为增函数．

10．设函数f(x)

11．证明函数f(x)x

xa(ab0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性．

xba(a0)

在区间(0,a]上是单调减函数，在区间[a,)上是单调增函数．

x第

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