2.2.1 函数的单调性精品学案

《函数单调性》教学设计

宝应安宜高级中学 方云

【设计思路】有效的概念教学必须建立在学生已有的知识结构基础之上顺应学生的思维发展，因此在教学设计中注意在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”，

呈现知识的发生和形成过程，使学生始终处于问题探索研究状态之中。为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深入．在应用概念阶段, 通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．考虑到学生数学思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔。在教学设计中发挥好多媒体教学的优势，注意结合图形，由浅入深，采用数形结合方法，从感知发展到理性思维，让学生经历“创设情境——探究概念——理解反思——拓展应用——归纳总结”的活动过程，体验了参与数学知识的发生、发展过程，培养“用数学”的意识和能力，成为积极主动的建构者

。

【教学目标】

1．理解函数单调性的概念，初步掌握判断、证明函数单调性的方法．

2．通过观察、归纳、抽象、概括自主建构函数单调性概念的过程，体会数形结合的思想方法，提高发现、分析、解决问题的能力；通过对函数单调性的证明，体会数学的严谨性，提高学生的推理论证能力．

3．在学习中体会数学的科学价值和应用价值，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【背景分析】

1、教材分析

本节是高中数学新教材必修1第1章第1.3.1节第一课时，主要学习函数单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。他是高中数学中相当重要的一个基础知识点。是高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数单调性的基础．在比较数的大小、解方程或不等式、求函数的值域或最值、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用。通过本节课

的学习，加深对函数本质的认识，为今后函数学习打下理论基础；还有利于培养学生的抽象思维能力、分析和解决问题的能力。从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法。所以本节课的

重点：函数单调性定义及本质，单调性的判断及证明。

2、学清分析：

从学生的知识结构来看，初中已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，他们只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，但对于数学上具有抽象概括性形式化的定义尚难于接受。本节内容正是初中有关内容的深化和提高。好在前一节学习的函数及其表示,为过渡到本节的学习起着铺垫作用，从学生的认知结构来看，高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段，而且逐步地从感性思维过渡到理性思维，并由此向逻辑思维发展，但学生思维不成熟、不严密。所以本节课的

难点：函数单调性形式化定义的认识和理解，用定义证明函数的单调性． 【教法导学】

根据建构主义、最近发展区理论和本节课的特点，贯彻“教为主导，学为主体，问题解决为主线，能力发展为目标”的教学思想，采用启发诱导、支架式教学，通过营造问题情景，激发学生的探索欲望，鼓励学生自主探索，发挥好多媒体教学的优势，充分利用学生熟知函数图象的直观性，注意结合图形，由浅入深，从直观感知到理性思维，用数学观点分析和解决问题。

【教学手段】

利用多媒体直观、形象的动态功能，为函数单调性概念的理解提供直观、形象的认知基础;同时对函数在某一区间内变化趋势进行动态演示，帮助学生理解。

【教学课型】概念教学课

【教学准备】多媒体、黑板、课件

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

探究问题1：为了预测北京奥运会开幕式当天 的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.观察曲线是如何变化的？当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻？

〖师生活动〗：学生独立思考并回答问题。教师指出在生活中我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．还比如降雨量、股票价格等。用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小，反映在图象上就是上升或下降，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性。

〖设计意图〗：设置实际生活的例子，让学生对图象的上升和下降有初步的感性认识，为下一步对概念理性讲解作了铺垫，同时要通过实例让学生感受到函数的单调性和生活的密切相关，进而激发学生的兴趣，引发学生进一步的好奇心。

二、指导观察，形成概念

探究问题2：作出函数的图象，

并且观察他们图象在哪个区间内是上升的哪个区间内是下降的？能不能用数学语言把上面两个函数图象上升或下降的特征描述出来吗？

〖师生活动〗教师在问题的基础上，进一步强化对图象的感性认识，展示函数，图象，让学生观察在整个定义域内 y随x的变化情况。在知识过度的关键处，从函数变量的角度分析问题，给学生一定的时间，让学生通过观察、思考探究，对问题作出回答，让学生先说，教师修正。结论1：函数在定义域内的任意两个自变量的值，

当的值变量的值时，都有，当，当，函数

时，都有

时，都有在定义域内区间，在定义域内区间上任意两个自变量上任意两个自。

结论2：引导学生用自然语言描述图象的变化规律，并能进行分类描述 (增函数、减函数)，第1：不同的函数变化趋势不同，第2：同一函数在不同的区间有不同的变化趋势。第3：同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的是函数的局部性质。

〖设计意图〗顺应学习者的认知规律，以学生熟知的函数为切入点，从直观感知图象入手，对单调性的认识由形到数，让学生体会函数值的增减变化，把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度, 探究问题3：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数吗? 〖师生活动〗学生独立思考，合作交流，回答问题，如果函数x的增大，y也越来越大，我们说函数在某个区间上随自变量在某个区在该区间上为增函数；如果函数间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数．教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识．如果从数值变化的角度描述就会得到如下概念：

定义：一般地，设函数的定义域为I:

上的任意两个自变量的值在区间上是单调递增函数。

，当

时，都有如果对于定义域I内某个区间，那么就说函数由学生类比得到减函数的定义：

如果对于定义域I内某个区间，那么就说函数注:（1）上的任意两个自变量的值在区间上是单调递减函数。

，当时，都有三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定；（2）相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。

〖设计意图〗：让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，

探究问题4：下图是定义在[－5，5]上的函数

的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，

是增函数还是减函数。

〖师生活动〗：教师直接提问，学生独立思考并回答。[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5]。其中的单调区间有

在[－5，－2）,[1，3）上是减函

数；在[－2，1），[3，5）上是增函数。强调单调区间的写法：问题6：可否写成[－5，－2）U[－2，1）？问题7：写成[－5，－2）还是写成[－5，－2]？多媒体展示构造反例说明：（1）单调区间一般不能求并集；（2）当端点满足单调性定义时，可开可闭。

〖设计意图〗心理学认为概念一旦形成，必须及时加以巩固，设计通过直观图象加深学生对函数单调性等概念的理解。

三、辨析概念，强化理解

探究问题5：判断题：①．②若函数③若函数在区间和(2,3)上均为增函数，则函数．

在区间(1,3)上为增函数．

④因为函数f(x)=1/x在区间上是减函数. 上都是减函数，所以f(x)=1/x在〖师生活动〗学生独立探究，合作交流得到正确结论。

〖设计意图〗通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解。通过判断题，强调三点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，

有的函数根本没有单调区间(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在区间上不是单调函数? 探究问题6：如何从解析式的角度说明在上为增函数？

在为增函数．(3) 任,即，所以上是增（或减）函数．思考：如何说明一个函数在某个〖师生活动〗： (1) 在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以上为增函数．(2) 仿(1)，取多组数值验证均满足，所以取在,因为上为增函数．

在〖设计意图〗顺应学生的思维从特殊到一般，对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量四、应用概念，提升能力

。事实上也给出了证明单调性的方法。

探究问题7：物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。

〖师生活动〗教师引导学生思考并回答①P=是函数吗？②你能画出P=图象吗？③函数P=是否具有单调性？你能作出猜想吗？④如果具有单调性，

你能用单调性的定义加以证明吗？

学生证明，教师修正。

〖设计意图〗用数学方法证明物理定理，既注重了学科之间的整合，又图显了函数单调性概念的应用。

探究问题8：函数

在（0，＋∞）上是增函数

〖师生活动〗设

是(0,＋∞)上的任意两个值,且，则

又则因此，函数，故，即：，

在（0，＋∞）上是增函数。

总结定义法证明函数单调性的步骤：

1、取值:设任意2、作差变形:3、定号:确定属于给定区间，且；

变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；

的正负号；

4、下结论:由定义得出函数的单调性。

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤。

五、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．知识与技能：函数单调性的概念、判断和证明。

2．过程与方法：概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．

单调性证明的方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

数学思想方法：数形结合．

3．书面作业：课本第60页 习题1.3 第1，2，3题．

4．课后探究：①研究函数y=x+1/x的单调性．

②课后思考函数减，又该如何? 〖设计意图〗了解等价形式进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

【板书设计】：

在R上单调递增，那么(f(x)-f(y))/(x-y)，的符号有什么规律？若单调递

函数单调性

一、函数单调性概念

1、单调递增函数

2、单调递减函数

3、单调区间 (主板书) 【反思评价】：

本节课的引入从学生熟知的具体函数切入，让学生直观感知图象的升降，降低了学习的难度，引导学生从数值的角度分析其变化特征，实现学生思维从直观感知到理性思维的飞跃，实现数与形的结合，选用简单易懂的例题供学生练习，通过适当例题、习题的练习，引导学生积极思考、归纳总结，灵活掌握知识，使学生从“知”到“会”到“悟”再到“用”；引导与合作交流相结合,让学生积极参与,讨论交流,充分挖掘单调性的特点及意义,在分析具体问题的过程中总结证明单调性的方法和步骤，让每个学生都能动手、动口、动脑，在愉悦环境中培养学生学习的积极性和主动性，充分体会函数单调性现实意义，为今后的学习打好基础，树立信心。根据教学内容，我从以下三个方面进行教学评价：

1．关注学生从直观感知向理性思维的过渡，通过学生的回答情况适度加以引导，

2．在学生探究过程时通过观察，评价学生积极参与的程度和主动合作的意识，

3．通过课堂小结和作业反馈教学效果，以便查漏补缺。

4．函数的单调区间一般指“最大”区间，学生如果只回答其子区间，应给予纠正。

5．如何让学生理解函数单调性中：“对任意两个变量…”的“任意”的意义仍是值得斟酌的。能否让学生来举例，让学生讨论来展开研究？

以上我对本节课的一些理解和思考，不妥之处，敬请各位专家批评指正。谢谢！

二、例题及解答

例1 例2 (副板书) 议练活动

(辅助性板书)