4.4 对数概念及其运算课件配套优秀

§4.3 对数概念、性质及运算（1）

执教教师：魏巍 授课班级：西南位育中学高一四班 授课时间：2017年12月6号

一、教学目标

1、知识目标：由生活实例引出，引导学生体会学习对数的必要性,通过归纳和类比，理解对数概念与指数概念的相互关系，了解对数的定义和基本性质，掌握对数式与指数式的互化，能够利用对数积、商、幂的运算性质进行简单的对数运算。

2、能力目标：在对数的和、差等运算性质的推导过程中培养学生合作观察、分析、归纳培养独立思考能力，培养学生大胆探索、不断创新的研究精神,体会团队协作的力量。

3、情感目标：通过生活实例让学生体会到数学来源于生活，感受数学的科学价值和应用价值。对数运算性质探索的组内合作中感受集体的温暖与力量，互帮互助提高同学们之间的相互信任，增强班级凝聚力。

二、教学重点

1、通过指数式引入对数的概念，使学生理解和掌握对数的概念。

2、通过指数的运算性质导出对数的运算性质，使学生掌握对数的积、商、幂的运算性质。

三、教学难点

对数概念的理解、对数运算性质的应用。

四、教学设计说明

1、教材分析

本节课是对数函数内容的第一课时，是对数函数的入门，对于学生来说是一个全新的模块。同时对数是一个重要的概念，是一种重要的运算，它与指数概念紧密相连，它们是对同一关系从不同角度的刻画。该节课建立在指数与指数函数及性质的基础上，通过实例引出对数的概念，进一步观察对数相关性质，探讨对数的运算性质。既是对指数性质的巩固，也是后面研究对数函数、探讨对数函数应用的基础，因此本节课在知识结构上起着承上启下的作用。

2、学情分析

本节课的授课班级为西南位育中学高一4班，学生的总体基础较为薄弱，但态度较为积极和认真，能认真执行老师所给予的指令。因此在教学设计时应紧扣基础知识点，力求加深理解，着重巩固环节，严格控制题目难度。对于新授知识要持续观察和互动，即时了解教学效果，调整教学节奏。

同时部分学困生对于数学一直处于恐惧、被动、自卑的状态，如果其对于对数的基本概

念和性质认识不足的话将对后面对数函数的学习产生极大影响，因此如何才能让学困生积极参与到教学活动中来？

在这种情况下可以设计合作探究环节，以优带差，以快带慢，保证学困生的教学效果，加深其对知识的理解，同时可以分享集体胜利的果实，增强对于数学学习的自信心。

从内容上来看，学生在初中时已经学习了指数及指数幂的运算，在上几节中学习了指数函数及运算，了解研究函数的一般方法，已具备了探索发现研究对数定义的认识基础。因此应引导学生独立思考、大胆猜想和灵活运用类比、转化归纳等数学思想的学习方法。

3、教学设计思路

学生是教学的主体，本节课努力给学生提供参与的机会，充分的调动学生积极性，化被动为主动。

首先在生活实例的解决中创设疑问，故意使学生在解题中遇到阻碍，从而让其认识到引入对数的必要性，产生探究的激情，体会对数概念的形成过程。其次重视指数式与对数式的互化，感受知识之间的相互联系，并且运用类比的访谈结合指数的相关性质来寻找对数的相关性质。通过提问的形式使学生紧紧抓住对数运算是指数运算的逆运算这一实质。

在对数的运算性质的教学中，首先让学生分组合作进行填表，进一步合作进行观察、分析、讨论形成猜想，教师可参与到每组的讨论中进行引导，确保猜想的准确形成，增强学生在知识形成中的参与感，深入到知识本质的探索中增强学生的成就感和对于数学的自信心。

其次在有一定难度的证明中采用师生合作的形式对猜想进行证明，突出强调对数的和差运算的结果为积商的对数，配合相关例题帮助学生巩固对数运算性质，加深学生的记忆。

最后解决引例中遗留的问题，保证课堂的完整性。

五、教学过程

（一）新课引入

【引例】双十一过后，乐乐身上只剩下100元钱，他用其买了一只股票，如果该股票每个工作日均能够增长10%，那么经过多少个工作日可以实现他“1个亿”的小目标？

解：设经过x个工作恰好可以实现他的目标。

100(1+10%)=108x

1.1x=106

师生互动：学生思考问题，列出解析式，描述求解所遇到的困惑，教师引导提出对数的概念。

设计意图：借助当前热点话题“双十一”、“小目标”设计生活情境，同时以班主任名字谐音“乐乐”为主人公，以实际问题作为切入点引入新课，要求学生列出指数式，发现指数尚不能直接解决该问题，从而引出对数，让学生体会学习对数的必要性和实际应用价值。

（二）新课讲授

学生行为：阅读教材，自学对数的概念及相关定义，思考并尝试填充以下空格。

教师行为：在学生自学以后，进行知识点归纳。

1、对数的概念

［定义］一般地，如果a(a0,a1)的b次幂等于N，即abN，那么

b

叫做以

a

loga为底 N

的对数。记作：指数式

Nb，其中a叫做对数的 底数 ，N叫做 真数 。

对数式

logaN=babN

a0,a1

N>0a0=1

a1=a

loga1=0 1的对数为0 logaa=1 a的对数等于1 补充：常用对数：

log10N

记作

lgN ；自然对数：

logeN 记作lnN 对数恒等式： alogaN=N 设计意图：这种在教师指导下的自学区别于枯燥的讲授法，在学习目标具体明确的情况下给予学生独立的、安静的时间进行自主学习，“先学后讲”提高学生学习的积极性，增强学习成就感，培养学生观察、对比、分析、概括的合情推理能力和自学能力。

【例1】将指数式化为对数式

（1）()12416 （2）1020.01

（3）e2.30310

log100.01=-2loge10=2.303log16=-41解：（1） （2） （3）

2lg0.01=-2ln10=2.303【例2】将对数式化为指数式

（1）log56254

（2）log2-515

（3）log381a

32 解：（1）54=625 （2）2=1 （3）3a=81

32设计意图：巩固对数的概念，设置指数式与对数式的转化加强学生对于对数的理解，同时熟悉对数式符号的含义，为后续学习对数运算的做铺垫，培养学生运用知识的能力。

【例3】求下列各式的值

（1）log264 （2）log82 （3）lg1

100

解：2=646log264=6 解：8=21log82=31310-2= 解：11001lg=-2100

【例4】求下列各式中x的值

（1）log8x23 （2）logx27 （3）log2(log5x)0

34

x>0 解：x>0 解：x>0,x¹1 解：x>0,log523log8x logx27 log2(log5x)0

34 x=81x=4-2 3x=274æö3x=27çè÷ø344334 log5x=20

log5x=1x=5x=81 经检验，x=1为原方程 经检验，x=81为原 经检验，x=5

4 的解 方程的解 为原方程的解

小结：在对数式的求解中，往往会使得未知数的允许值范围扩大，所以要求检验（代入原式）。

设计意图：简单的对数式计算及对数方程求解，加强对于对数定义的理解。

2、对数的运算

教师行为：示范如何利用计算器来进行对数运算。

学生行为：以小组为单位合作填表、观察、讨论、猜想对数的运算性质。

M

100 200

N

10 0.8

lgM+lgN

lgM-lgN

lg(M+N)

lg(M-N)

lg(MN)

3 2.204

1 2.398

2.04 2.303

1.954 2.299

3 2.204

æMö

lgç÷èNø1 2.398

师生互动：参与到各个小组的讨论中，辅助学生发现运算规律，引导学生由自然对数的运算规律对一般对数的运算规律进行大胆猜想。

写出猜想：

lgM+lgN=lg(MN)lgM-lgN=lg(logaMlogaNloga(MN)M M logaMlogaNloga())NN师生互动：师生共同利用指数式运算对对数式运算规律的猜想进行证明。

证明猜想：

logaM=p,logaN=q\ap=M,aq=Np+qM\MN=a,=ap-qN\loga(MN)=p+q=logaM+logaN,Mloga()=p-q=logaM-logaNN

设计意图：

学生对于对数的运算是完全陌生的，在表格中选取利用计算器计算较为方便的自然对数来引导学生进行规律探索。

同时表格设计为半开放样式，前面两行为固定数据，最后一行M，N的值学生可以自行设置，从特殊到一般感受运算规律的普适性。

小组合作的方式让学生充分参与到学习过程中，把抽象的数学知识转化为具体可操作的规律性知识，通过“填表、观察、讨论、猜想、归纳并证明”感受知识的形成和发展过程。在猜想证明的过程中，感受将未知的对数运算转换成已知的指数运算的方法来解决目标问题，这种从“未知”联想到“已知”再反归于“未知”的方法将渗透在高中各个学习阶段，提高学生对于难度较高题目的解决能力。

培养学生运用数学语言表述问题的能力和解决问题能力，培养学生敢于质疑，勇于开拓的创新精神。

思考：如果对对数的真数进行n次幂运算logaM又是怎样的运算规律呢？

学生行为：参照对数的和差的证明方法，小组合作进行猜想和证明。

请小组派代表进行回答。

学生方法： 教师补充方法：

证：

logM=pa 证：

n\ap=M\a()pn=Mn\apn=Mn\logaMn=pn=nlogaM［归纳总结］如果a0,a0,M0,N0,那么

（1）loga(MN)=logaM+logaN ； （2）loga(M)=logaM-logaN；

N

（3）logaM=nlogaM n

【例5】计算：

（1）lg0.015= (2)lg8lg125= 解：lg0.015 解：lg8+lg125

=lg10-2=lg10-10()5=lg(8´125)=lg1000=lg103=3=-10lg10=-10

（3）lg25-lg 解：1= （4）log2(2554)= 41 解：log25´54

242æö551öæ=log2´22ç÷=lgç25¸÷èøè4ølg25-lg=lg100=lg10=22()=log2227=5275小结：对数的运算不同于常规加减运算法则，同底对数的和、差为真数积、商的对数，在运算中要尤其注意。

设计意图：巩固对数的性质，熟练运用对数式进行简单计算，培养学生解题的规范性，检验学生运用知识的水平，了解教学效果。

（三）复习回顾

本节课学习了对数的定义及表达，要求同学们能够熟练的进行指数式与对数式之间的转换。同时我们学习了对数的一些性质，要求同学们在做题中注意求得的解是否满足对数式的要求，不能忘记对解进行检验。

本节课还学习了对数的运算法则，与常规加减运算法则较为不同，希望同学们在课后多加运算、练习，熟练使用对数运算法则。

最后我们来解决一下引例中尚未完成的问题。

1.1x=106

x=log106

1.1x»145

答：至少经过145个工作日才能实现他的目标。

设计意图：利用本节课所学知识解决引例中遗留的问题，让学生感受知识的实际应用价值和解决问题的喜悦，从而提高学生学习数学的兴趣。

（四）布置作业

作业（41）对数概念性质及运算

（五）板书设计

六、教学反思

这是一节概念教学课，在课前准备时我创设情景，要求学生进行思考并列出表达式，在此过程中学生遭遇困惑寻求帮助，从而引出课题，挖掘对数学习的必要性和价值，激发学生兴趣。本节课最后回归到引例问题的解决，首尾呼应，使本节课较为完整。

4.3 对数概念、性质及运算（1）

1、对数的概念 2、对数的运算

［定义］一般地，如果a即ab(a0,a1)的b次幂等于N， 如果a0,a0,M0,N0,那么

那么b

做以a为底N的对数。 （1）loga(MN)= logaM+logaN N，记作：logaNb，其中a叫对数的底数，N叫做真数。 （2）loga(M)=logaM-logaN；

N 指数式 对数式 （3）loga abN logaN=bMn=nlogaM

a0,a1

N>0

a0=1

loga1=0

a1=a

logaa=1常用对数：

log10自然对数：

logeN

记作

lgN

；

N

记作lnN =N（课堂初）

logaN（学生看到题目中主人公“乐乐”（取自班主任名字）都在偷偷笑）

师：如果想解决多久才能实现一个亿的小目标，我们需要怎么做呢？（请 小A来回答）

生：需要设未知数，需要列方程！

生：设经过x个工作恰好可以实现他的目标，100(1+10%)=108

x

师：非常好，接下来我们要对这个方程？怎么样？

生：化简一下，就是1.1x=106。

师：嗯，非常不错，但是我们好像还没有解决到底多久可以实现目标。

生：唔……这个……（想说又说不出口）

师：那我们来观察一下，这是一个什么式呢？

生：这是一个指数式。

师：那未知数在哪里呢？

生：未知数在指数的位置。

师：很好，说的很准确，也就这是一个如何表示指数式中指数位置的未知 数的问题，今天我们就要借助对数来解决这个问题。

……

（课堂末）

师：今天我们学习了对数的概念性质和运算规律，我们再来挑战一下之前

遇到的问题，我们同样再请小A来尝试下。

师：小A，对于你之前列的方程，现在你有什么想法吗？

生：嗯嗯，现在没问题，可以用对数来表示,x=log1.1106。（得意洋洋）

师；不错，可是你仍然没有给我一个确切的答案。（窃笑）

生：这个……（同学们给支招后恍然大悟）我可以用计算器来求！

师：非常棒！这样我们利用对数就完整的解决了这个问题。

个人认为这个引例比较成功，学生在课下还在津津乐道的讨论“原来145天就能实现一个亿的小目标”的话题，让他们感受到数学研究的乐趣，原来数学并不是只有枯燥的“xyz”。我们在教学中如果在课前能花些心思结合学生的兴趣找到一个合适的点来切入，可能可以使整个课堂的气氛活跃起来，更有利于教学的开展，也在点点滴滴中改变学生对于数学的看法和态度。

在对数运算法则的学习中我设置“半开放式”表格组织学生分组合作讨论，让学生充分参与到学习过程中，把抽象的数学知识转化为具体可操作的规律性知识，通过“填表、观察、讨论、猜想、归纳并证明”感受知识的形成和发展过程，充分体现了“以学生为主体，以教师为主导”的教学原则，在教师引导下的学生自主学习加深了学生对与对数运算的理解和记忆，也培养了其沟通、合作的团队精神，调节课堂气氛和学生参与感。

（学生分组讨论）

师：你们发现的表格填好了吗？发现什么了呢？

生1:第三列和第七列的值一样。

生2:对，第四列和最后一列的值也一样。

师：和你们之前想的一样吗？

生2:不一样，我以为对数的和应该是和的对数来着，没想到是积的对数。

师：很不错，那你们小组有什么猜想吗？

生3:lgMlgNlg(MN)。

师：现在是在常用对数的条件下，想象能不能做个更大胆的猜想？

生2:老师，你的意思是……唔，不一定是要常用对数？

师：嗯呢，如果底数都是a呢？能得到怎样的猜想？

生2:哦，我知道了，logaM+logaN=loga(MN)。

师：非常好，合作把对数的差运算规律写出来。

（生1、3学习能力略差，生2学习能力较好）

传统的讲授式教学学生往往作为被动的接受者，难以激发其学习兴趣，同时学优生在课堂上的快速反应和抢答，往往导致学困生更加自卑、消沉，因此如果能在合适的课题上组织学生进行合作，自主探究，既给了学优生思考的空间，也能给学困生参与的机会，将学生放在学习的主体地位上，充分发挥教师引导的功能。

综上来看，本节课通过课堂实践，教学设计基本符合学生的实际情况，取得了良好的教学效果。不足之处在于后半节课时间稍显紧张，节奏略快，在课堂节奏和时间把控上有待加强。