6.4 反三角函数优秀公开课教案

§6.4.1 反三角函数(1)——反正弦函数

[教学目标] 1.

经历在正弦函数的某个单调区间上建立反三角函数的过程，理解反正弦函数的概念. 2.

掌握反正弦函数值的含义，并能用反正弦函数值来表示角的大小. 3.

知道反正弦函数的图像，并能根据图像研究反正弦函数的性质，体现数学知识之间的联系，进一步体会函数的研究方法和过程. [教学重点] 理解反正弦函数的意义，会用反正弦函数值表示角. [教学难点] 理解反正弦函数的意义. [教学过程] 一．反正弦函数的引入

问：同学们是否还记得反函数的概念？

下列函数是否存在反函数，如果存在，求出反函数；若不存在，说明理由. 通过求反函数，帮助学生回忆反函x2（1）y2；（2）yx.

数存在的条件，为复习反函数的概念以及反函数存在的条件：x与y一一对应. 理解反正弦函数

的定义做好准备. 问：对照反函数的概念，我们来看正弦函数ysinx,xR是否存在反函数？

（展示正弦函数图像）

ysinx,xR不存在反函数.

2（yx也不存在反函数，但是在0,上存在反函数）.

问：如何确定D，可以使得ysinx,xD存在反函数？

关于D=,的合理性说明：

22

（1）y能取遍1,1所有的值；

（2）最大的单调区间确保存在反函数；

（3）关于原点对称，包含锐角.

计算器也是这样若x,，则ysinx是单调函数，x,y一一对应，故在x,上ysinx存规定的：

2222在反函数. sin1xarcsinx

二．

反正弦函数的定义

.



ysinx,x,的反函数yarcsinx，x1,1称为反正弦函数.

22理解新符号：

对于反正弦符号理解：在,中正弦值为x的弧度制的角. 类比对数符号

22学生回答arcsinx的意义：

2x3xlog23

（1）arcsinx表示一个弧度制下的角,；

22（2）

这个角的正弦值是x，sinx（即sinarcsinxx）. 概括对数意义：

2的几次方是3.

概念辨析：

（1）arcsin12； （2）arcsin1230；

（3）arcsin422；

（4）sinarcsin1133；

（5）sinarcsin44；

（6）sinarcsin33. 总结（4）（5）（6） sinarcsinxx成立的条件是什么？

例1 求值：

(1)arcsin32； (2)arcsin1；

(3)arcsin22； （4）arcsinsin9. 解：（1）因为sin332，且32,2，所以arcsin323. （2）因为sin21，且22,2，所以arcsin12. （3）因为sin422，且422,2，所以arcsin24. （4）因为92,2，设sin9a，所以arcsina9，即arcsinsin99.

例2 求值：

(1) arcsin54sin6；(2) arcsinsin3； (3) arcsinsin3.49. 解：（1）因为562,2，而62,2，且sin6sin56，设sin6sin56a，所以arcsin5sin6arcsinsin6arcsina6.

通过概念辨析熟悉arcsinx的意义：

在2,2中正弦值为x的弧度制的角.

（2）因为44,，而,，且sinsin，

32233223arcsinsinarcsina. 33设sin44sina，所以arcsinsin333（3）因为3.49,，0.49,，而

2222sin3.49sin1.49sin0.49sin0.49，

所以arcsinsin3.49arcsinsin0.49arcsinsin0.490.49.

思考：arcsinsinxx成立的条件？

例3

用反正弦函数表示下列各式的x: (1)sinx3,x,；

5223, x,；

522(2)sinx(3)sinx3, x0,. 33解：（1）因为x,，由定义，可知xarcsin. 5223（2）因为x,

，由定义，可知xarcsin5. 223（3）在区间x0,上，由定义，可知xarcsin；

3233在区间上，由诱导公式，可知满足. xarcsinsinx,332因此，xarcsin

33或xarcsin. 33小结：用反正弦函数值表示角x时，若x不在反正弦函数的值域,内，应先调22整到值域,内，再用反正弦函数值表示x. 22

三．反正弦函数的图像与性质

问：我们研究函数需要研究哪一些内容？ 奇偶性，单调性，最值，零点. 这些内容最直观的研究方式是什么？ 作出函数图像，观察函数性质.

注意x的不同范围

利用反正弦函数的定义求出x.

问：如何作出yarcsinx的图像？ 反函数的图像与原函数的图像关于yx对称，

正弦函数ysinx,x2,2的图像. 学生活动：

利用原函数与反函数图像的对称关系作出反正弦函数的图像（关于yx对称）.

四．根据解析式与图像研究反正弦函数的性质：

yarcsinx

1．奇偶性

奇函数（过原点）,即arcsinxarcsinx,x1,1

2．单调性

增函数

3. 零点

x0

4. 最值

最大值2，对应x1

最小值2，对应x1

五．课堂小结

1.反正弦函数的定义. 2.反正弦函数的图像与性质. *3.利用反正弦函数值表示sinxa的所有解.

六．布置作业

1. 求函数yarcsin2x1的定义域，值域和单调区间. 2. 求函数ysinx,x32,2的反函数.

数形结合，从图像上看反正弦函数的性质