4.5 反函数的概念公开课教案

4.5.1反函数的概念（1）

教学设计

封浜高级中学 刘阳阳

在沪教版高级中学教材中，《反函数的概念》应用2课时完成。本文将从教材分析、学情分析、教学目标与教学重点、教学过程等四个方面谈一谈反函数的概念第一课时的教学设计。

一、教材分析

反函数的概念所在章节包含幂函数的性质与图像、指数函数的性质与图像、对数的概念及运算、反函数的概念、对数函数的性质与图像等内容。在以教材为单位的教学中，本节课起着承前起后的作用，是对函数内容的巩固和延伸，又为今后对数函数、反三角函数的教学奠定基础。在以章节为单位的教学中，反函数作为单元的“桥梁”，贯穿了指数函数与对数函数的教学。

反函数是函数的重要内容之一，也是难点内容之一，这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，是在函数概念的基础上，进一步研究两个对立又统一变量之间的辨证关系。在《课程标准》中要求由具体的事例和逆对应引出反函数的概念，经历探索互为反函数的两个函数的图像之间关系的过程，掌握其关系。本节作为《反函数的概念》的第一课时，重点攻破反函数概念的理解及简单的反函数的求解。理解反函数的概念并会求反函数是高一代数教学的重要内容，这些建立在真正理解函数的概念的基础上，学生必须对函数的基本概念有着清醒的认识。教学难点为反函数概念的理解，学生对于反函数的来历、反函数与原来函数间的关系都容易产生错误的认识，学生必须认清反函数的实质就是函数这一本质问题，才能使学生接受反函数的概念。

二、学情分析

1.知识基础

本校为上海市普通高中，按中考录取分数线来看，学生处于上海普通高中的偏下水平。授课班级为高一（4）班，处于本校高一年级的平均水平。本班学生的数学基础知识普遍较薄弱，对待抽象的数学概念往往接受起来比较困难，计算、分析、概括和运用的能力也较为欠缺。虽然，班级整体的数学基础较为薄弱，但班级中有2-3名学生的数学素质较好，具有一些独立思考、创新的能力。目前，1

学生已有一定的集合、函数、对数的概念及运算等基本知识，但掌握较为一般，对概念教学也提出了挑战。面对学生知识基础薄弱的现实，本节课的教学设计的出发点是用最简单的实例说明最抽象的道理，将函数的概念和函数的图像贯穿教学全过程。

2.学习习惯

该班级学生的数学基础普遍较薄弱，两极分化情况也比较明显。面对高中数学和初中数学的差距，学生非常不适应。在教学中，我发现学生数学基础薄弱的主要原因是学习习惯。学生上课无法集中注意力，不由自主“溜号”，不喜欢动笔、动脑，在数学的学习过程缺乏自信。基于学生的学习习惯存在的问题，本节课的活动设计的出发点是要“舍得”给学生时间，因此设计了小组讨论、动手实践等活动，让学生在讨论、实践中去质疑、探索、得出结论。

三、教学目标与教学重难点

根据上述对教材、学情的分析，我制定了以下教学目标和教学重难点：

【教学目标】

1.理解反函数的概念；

2.掌握反函数的求法；

3.在研究原来的函数与其反函数的图像过程中，激发自主质疑、独立探索的精神；在反函数概念的建立过程中体会数形结合的思想，提升数学抽象的能力。

【教学重难点】

1.重点：反函数的概念及求法；

2.难点：反函数的概念。

四、教学过程

（一）创设情境，引入新课

1.问题情景：

古罗马Julius Caesar发明的凯撒加密法，用来保护重要军情的加密系统。“恺撒密码”它是一种替代密码，通过将字母按顺序推后起3位起到加密作用。

例如：Action tonight

加密

Dfwlrq wrqljkw

解密

___________ Zh jhw lw

2.数学模型：

2

我们将此加密方法中的字母用数字替代（第二行的A、B、C用27、28、29替代），得到：

填空1:x

加密

yx3

问题1：yx3是不是y关于x的函数？为什么？

填空2：xy3

解密

y

问题2：xy3是不是x关于y的函数？为什么？

问题3：yx3与xy3是不是同一函数？二者有何关系？

【设计意图】本节课的教学难点是反函数概念的理解，在概念引入环节要尽可能吸引学生的眼球。由于学生的基础薄弱、计算能力较差，课堂中需要用简单易懂的引例。首先，借助密码学中加密与解密的问题，让学生亲身体验逆向思考的过程。其次，引例较为简单，班级的学生可以快速建立起函数关系。这样“顺利”的学习过程，帮助学生建立了学习自信。最后，学生在情境中去讨论分析、探究发现，经历从具体到抽象的过程，对培养发现和提出数学问题的能力，发展数学抽象素养有关键性的作用。

（二）分析研究，生成概念

一般地，对于函数yfx，设它的定义域为D，值域为A。如果对于A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足yfx，这样得到的x关于y的函数叫做yfx的反函数，记作xf1y，其中f1读作“f逆”。 【设计意图】对实际问题进行一般化，从y关于x的函数yx3到建立x关于y的函数xy3过程中，学生完成概念的生成，印象会更加深刻。由于学生基础较薄弱，对抽象概念的理解更加困难，在概念生成中暂时不介绍改写这一步。

（三）深入研究，辨析概念

3

三要素/函数

定义域

值域

对应法则

yfx D A

xf1y A

D

f

f1

【小结】

“三反”：

（1）原来函数的值域是反函数的定义域；

（2）原来函数的定义域是反函数的值域；

（3）原来函数与反函数对应法则互逆。

例1.判断下列函数是否存在反函数。

（1）y4x2；（2）yx21x0；（3）yx2；（4）y2x。

例2.根据下列函数的图像判断函数是否存在反函数，并说明理由。

【小结】判断函数是否存在反函数：

（1）存在：x与y一一对应（充要条件）。

（2）不存在：举反例。

【设计意图】从函数三要素角度分析反函数的本质，加深概念理解。在练习中，利用概念判断函数是否存在反函数，并总结判断函数是否存在反函数的方法，更好地理解反函数的概念。

（四）体验矛盾，完善概念

1.实践探究：在直角坐标系中画出原来的函数yx3和反函数xy3的图像。

2.完整概念：

一般地，对于函数yfx，设它的定义域为D，值域为A。如果对于A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足yfx，这样得到的x关于y的函数叫做yfx的反函数，记作xf1y，其中f1读作“f4

逆”。 在习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，

这样把yfx的反函数xf1yyA改写为yf1xxA；

【设计意图】在学生对反函数的概念有了一定的了解之后，利用学生画图过程中产生的“矛盾”，引发学生的认知冲突，让学生主动去质疑——思考——解决。感受了反函数的表达方式与习惯上的冲突，学生可更好的理解互换字母的目的和意义。在整个教学过程中无处不在的双边活动，学生主动自觉地观察、思考和实践，培养了学生的善于观察、勤于思考和勇于探究的能力。

（五）应用举例，巩固练习

例3.判断下列函数是否存在反函数。如果有，求出反函数。

（1）y4x2；（2）yx21x0；（3）yx2。

拓展：如何改写函数yx2，使其存在反函数? 【小结】求解反函数的步骤：

（1）求值域：确定原来函数的值域；

（2）反解：用y表示x；

（3）改写：互换x与y，并注明反函数的定义域。

例4.已知fxx21x0，求f15。

【小结】反函数的性质：

（1）fabf1ba；

（2）函数fx和它的反函数f1x的图像关于直线yx对称。

【设计说明】通过例3，让学生练习了反函数的求解，并概括出求解反函数的基本步骤。通过拓展练习，让学生在共同思考和探究中得出函数yx2何时存在反函数，并给出具体的条件，进而求解其反函数，培养学生的创新意识、发现问题和解决问题的能力，有利于发挥学生学习的主动性与创造性。结合函5

数yx2的图像，更好地理解反函数的概念，更好地运用数形结合的思想。在不同定义域下求解函数yx2的反函数，让学生自主发现反函数的求解过程中，注明定义域是不可缺少的一步。通过例4，总结反函数的性质，深化反函数概念的理解。

（六）知识总结

（1）数学与密码；

（2）今天学了哪些知识？

【设计意图】回到密码问题，说明大部分密码不会很简单，但无论多复杂的密码都与反函数息息相关，渗透数学学科的实际应用和它的重要性。最后，通过回顾本节的知识，理清这节课的教学重难点，达到本堂课的教学目标。

（七）布置作业

同步练习册4.5.1 （八）板书设计

反函数的概念

一、概念

二、关系

四、求法

三、判断

五、性质

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