6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质设计意图

正、余弦函数的图象

高一数学

沪教版

霸州四中

孙雅芳

一、教学目的：

1、用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象

；

2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

；

3、正弦函数图象与余弦函数图象的变换关系

。

二、学情分析：

在初中学生已经学习过三步作图法（列表，描点、连线）——“描点作图”法，对于函数y＝sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y＝sinx的图象的真实面貌。因为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础。动手作出函数y＝sinx和y=cosx的图象，学生不会感到困难。

三、教学重点、难点：

重点：会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像。

难点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象。

四、教学过程：

教学内容

师生互动

设计意图

遇到一个新函数，画出它的图像，通过观察图像获得对它的性质的直观认识，是研究函数的基本方法，为了获得正弦函数和余弦函数的图像，我们先做一个简谐振动的实验，请注意观察它的图形特点。

情景设置

师：说明基本思路；

生：观察漏斗中的细沙落在纸板上所形成曲线的形状。

明确研究思想，利用简谐振动图像引进正弦曲线、

余弦曲线。

体会用学过的“描点给出思考：通过上述实验，我们对正弦函数图像有了直观印象，那如何画出函数y=sinx ,x∈ [0,2π] 的图像呢？

师：提出“作函数图像的步骤是什么？”。

生：回答“列表、描点、连线”。

法”作图像的麻烦和不准确。

教师提问

把问题作为教学的出发旧知回顾

学生回答

三角函数线的作法和意义？

教师对学生作答进行点评

点，引起学生的好奇，用操作性活动激发学生求知欲。

建立单位圆的三角函⑴、我们可以用单位圆中的三角函数线来刻画三角函数，那是否可以用它来帮助作三角函数图像呢？

⑵、按照教科书叙述的步骤,描出12个点,做出函数y=sinx ,x∈ [0,2π] 的图像。

师：讲解利用单位圆中的正弦线作正弦函数图像的方法。

生：思考如何得到图像上的一个点，即对于自变量x，如何利用正弦线确定它所对应的y的值？

通过观察使学生形成师：多媒体演示。

生：观看思考。

对正弦函数图像感知。

数线与三角函数图像之间的联系，引出利用正弦线作正弦函数图像的方法。

新课探索

引导学生利用诱导公式（一），只要将函师：提示学生从诱导公式

如何做出函数y=sinx , 入手，进行思考。

新知拓展

x∈ R的图像？

数

y=sinx ,x∈

[0,2π]的图像左、右平移（每次2π个单

生：思考问题，总结规律。

位长度）就可以得到函数y=sinx ,x∈ R的图像。

师：提出问题。

在做出正弦函数y=sinx ,x从对图像的整体观察∈ [0,2π]的图像时，应抓课本思考

住哪些关键点？

生：通过观察图像，确定在[0,2π]上起关键作用的五个点，并通过描出五入手，引出“五点法”。

学以致用

个点做图像。

1.例题1、画出下列函数图师生：教师指导，由学生独立完成，并总结图像的像的简图：y = 1+sinx ， x作法。

∈ [0,2π]

2.课本第二个思考题：

你师：提出思考问题。生：能否从函数图像变换的角度独立完成，回答问题。

出发，利用函数 y=sinx ，

x∈

[ 0, 2 π]的图像来

得到函数y = 1+sinx，x∈

[0,2π]的图像？

巩固“五点法”

使学生从图象变换的角度认识函数之间的关系。

1.你能根据诱导公式，以正弦函数的图像为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图像吗？

师：引导学生思考。

生：利用诱导公式，回答两个函数之间的关系，再用坐标变换做出余弦函数使学生从函数解析式之间的关系思考函数图像之间的关系，进而学习通过图象变换探究思考

学以致用

图像。

2. 类似于正弦函数图像师：提出思考的问题，引的五个关键点，你能找出余导学生回答。

弦函数图像的五个关键点吗？请将它们的坐标填入下生：通过类比，确定余弦表，然后做出函数y=cosx ,x函数图像的五个关键点并∈ [0,2π]的简图。

做出在上的图像。

例题2、画出下列函数师生：用“五点法”由学图像的简图：y = - cosx ，

生独立完成。

x∈ [0,2π]

课本思考题：

能否从函数 y = 师：提出思考问题。生：cosx ，

x∈

[0,2π] 独立完成，回答问题。

的图像得到函数y = -

cosx ， x∈ [0,2π]的图像？

画余弦函数图像的方法。

类比正弦函数，学会“五点法”作余弦函数的简图。

巩固“五点法”。

使学生从图象变换的角度认识函数之间的关系。

1.利用三角函数线画正弦图象。

反思学习过程，对研究正弦函数、余弦函师生共同完成。

数图像的方法进行概括，深化认识。

2.利用诱导公式得到余弦图课堂小结

象。

3.利用五点作图法可以画出正、余弦函数的图象，要牢记五个关键点的坐标。

五、作业

课本第38页练习第1、2题