6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质ppt课件课堂实录

同化性概念教学的实践探索

——正弦函数的图像与性质的教学设计

上海市民立中学

庄佳尧

本节是第六章三角函数的第一节课，承接第五章三角比的相关概念与公式之后，从函数层面上继续研究三角问题。本节课介绍了正弦函数的概念及其图像与性质，为进一步研究余弦函数与正切函数的图像与性质打下基础。

三角函数是继幂函数、指数函数、对数函数之后第四类基本初等函数，属于同化性概念，其上位概念是函数及任意角三角比。因此，利用上位概念同化正弦函数的图像与性质是教学设计的重点。其中，三角函数是周期现象的典型数学模型，引导学生从正弦函数的图像中感知周期性，和逐步抽象并理性表达周期性的定义是本节课的难点。

三角函数知识结构图

教学目标：

（1）用函数与任意角的三角比定义同化理解正弦函数的概念

（2）能正确画出正弦函数的大致图像，并概括和掌握五点法作图

（3）能判断正弦函数基本性质，并能证明奇偶性，会求最值和零点

（4）能从对正弦函数学习中逐步抽象出周期性的定义，并能做简单证明

（5）在学习过程中渗透函数与方程、数形结合及特殊与一般的数学思想

教学重点：

掌握正弦函数的图像与基本性质的同化过程，掌握函数的周期性定义。

教学难点：

正弦函数概念的建立与函数周期性定义的获得

教学过程：

一、建立正弦函数的概念

师：我们在第五章中，我们学习了任意角三角比，如果用变量表示任意角的弧度数，

sin是的正弦，

问题1：对于两个变量y与之间的依赖关系ysin，y是的函数吗？

师：问题的关键是：是不是对每一个确定的值都有唯一确定的正弦值sin与之对应？

此处学生不一定会明确回答。教师可根据具体情况决定是否用任意角的三角比定义来解释唯一性。

师：所以ysin是函数，我们称这个函数为正弦函数，表示任意角的弧度数，由于我们习惯上用x表示自变量，正弦函数记为ysinx

问题2：正弦函数ysinx的定义域和值域是什么？

（在这里强调定义域为R，值域为【-1,1】很重要，是后续学习的关键点）

在弧度制下，角的集合与实数集R之间有着一一对应的关系，所以这个函数的定义域为R。

同理，ycosx叫做余弦函数，它的定义域也是实数集R

今天我们先来重点研究正弦函数ysinx,xR

二、正弦函数的图像及其基本性质

师：现定义了一个新的函数，正弦函数ysinx，xR，下面自然是要学习这个函数的图像和性质。

问题3：正弦函数ysinx（xR）的图像和基本性质

师：是如学习幂函数一样先研究基本性质再画图像，还是如指数函数和对数函数一样先描点画图像再研究基本性质？请同学们选择你认为合适的方法进行学习。（有一点主动学习的味道）

最好的学习顺序为：先得出并证明奇偶性，再写出最值点和零点，最后描点画图得出单调性。

若学生在奇偶性后就回答单调性，教师可提示：当初学习指数函数和对数函数时都是根据图

像判断单调性的。幂函数的单调性之所以可以在图像之前获得，是因为可直接利用不等式的基本性质证明其单调性。。。。。。跳过单调性后，可引导学生求最值点和零点。。。

生：图像与性质

师：函数有哪些基本性质？

生：奇偶性、单调性、最值、零点

师：那我们一个个来看，奇偶性有没有

生：奇函数

师：怎么证明？

生：

sin(x)sinx（板书证明，ppt显示）

师：单调性呢？

生：有点想不清？

师：那先看最值？

生：最大值1，最小值-1

师：什么时候取到？当自变量x取何值时，sinx=1?

生：x=2k(k为整数) 2

师：当自变量x取何值时，sinx=-1?

生：x=22k（ppt）

师：正弦函数的零点是什么，还记得吗？

师：函数零点就是函数值取零时，自变量x的值

正弦函数的零点当sinx0时，x的值，sin几是0

生：k

师：就剩一个单调性，我们目前无法直接研究，我们应该怎么办？

生：描点法

师：很好，具体的就是列表、描点、连线就可以了，能否借助刚才我们研究的性质来简化呢？比如奇偶性，它是奇函数

生：只要画一半，另一半对称

师：最值和零点呢

生：可以得到函数图像的最高点，最低点，及其与x轴交点

在黑板上描出这些点

师：剩下的这些点，我们可以借助一些特殊点得到，比如sin612，sin，242sin3323，sin等等，当然如果用计算器的table功能或者计算机可以得到更232多的点，从而得到更为精确的图像，

Ppt显示精确的图像

师：请同学观察一下正弦函数图像的特征？

生：图像呈波浪型，周而复始循环往复，关于原点对称，是轴对称和中心对称图像，夹在直线y1之间

师：是不是图像特征与我们刚才研究的性质一致

生：是的，

师：那么，下面说说正弦函数的单调性吧，是不是单调函数？

生：不是，

师：很好，但不是单调函数，我们可以得到它的单调区间，增区间是什么？

生：[2k,2k]k为整数

22师：怎么看出来的

生：从2到3579,]，[,]，，从左往右呈上升趋势，y随着x的变大而变大，同样[22222也都是增区间，而且每隔2出现一个增区间，所以加上2k

师：非常好（如不完整，加以补充），那么减区间呢？

生：[2k

2,2k3]

k为整数

2三、通过关键点作出正弦函数的大致图像

师：到此为止，正弦函数的图像和基本性质我们就完成了。

问题4：怎样快捷的画出正弦函数ysinx（xR）的图像？

生：只要找到一些关键点就可以了，然后用波浪形的光滑曲线联结起来就行。

师：哪些关键点？

生：最高点、最低点、与x轴交点

师：很好，请同学们试着画一下ysinx在[3,3]的大致图像？

画完，进行简单点评，点评要点：波浪形、自变量

的大小、铅笔

2四、正弦函数的周期性

同学们现在已经会作正弦函数的大致图像了，那么请观察一下这个函数想一想，正弦函数除了四个基本性质之外，还有一个比较独特的性质。你能描述吗？

生：图像呈波浪形、周而复始、循环往复

师：很好，这种周而复始的现象，我们把它叫做周期性现象，这种现象从形的角度就是图像循环往复，重复出现，那么我们能不能向定义奇偶性、单调性和最值一样，给出周期性的定义呢？也就是应该用怎样的数量关系来描述周期性呢？

问题5：请用数量关系来描述正弦函数的这种周而复始，重复出现的现象？

首先，你认为正弦函数的周而复始，重复出现的长度单位是多少？

生：2

师：也就是任意一段图像平移2个单位，所得的图像与原图像一致对吗？

生：是的

师：那么应该用怎样数量关系来描述这种每平移2个单位，所得的图像与原图像一致的性质呢？

师：回顾一下函数的奇偶性的定义，使用定义域内的任意一点来刻画函数图像的对称性。那么，同学们能给出类似地描述吗？

生：诱导公式：xR，sin(x2)sinx

问题6：你能否就一般的函数f(x)，给出周期性的定义？

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个常数T(T0)，使得当x取定义域D内的任意值时，都有f(xT)f(x)成立，那么函数f(x)叫做周期函数，常数T叫做函数f(x)的周期，

对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数f(x)的最小正周期。所以要指出正弦函数的周期性的话，我们就说它是周期为2的周期函数

那么为什么要研究周期性呢？

因为我们有了周期性后一些问题就变得更加简洁，比如作正弦函数图像的时候只需画出一个周期的图像，比如[0,2]或者[,]，其他图像都是可以利用周期性得到，而一个周期里有五个关键点，比如[0,2]五个关键点为(0,0)，(2,1)，(,0)，(3,1)，(2,0)，2所以我们把刚才利用这些关键点作出正弦函数大致图像的方法叫做五点法。

五、固化应用

问题7：利用五点法作出ysinx在[0,2]的大致图像，并研究其在定义域R上的性质

五点法、图像变换法，回忆刚刚研究正弦函数的方法以及正弦函数的图像与性质

六、结构图式

今天我们在任意角三角比与函数概念的基础上建立了正弦函数的概念，并研究了正弦函数的图像与性质，重点讲解了函数的周期性定义以及五点作图法

七、课后作业

今天的作业是希望同学们能够利用今天所学知识，进一步研究y1sinx，ysinx

ycosx，这三个函数的图像与性质

八、教学反思

今天我上的这节课的课题是《正弦函数的图像与性质》，它是第6章三角函数的第1节课，在课程内容的设置上与课本上的顺序略有区别，课本上是通过三角函数线得到正弦函数的图像之后，逐一研究最值、周期性、奇偶性、和单调性，而在实际教学中，我们发现利用三角函数线得到函数图像，学生是比较难以理解的，而且在教参上这节课的规定课时比较少，所以我们需要更整体化地来处理这节内容。

在孟老师的指导和帮助下，我们采取问题驱动的方式，利用任意角三角比与函数的定义同化了正弦函数概念之后，创新地让学生采取适当的顺序来研究正弦函数的图像与性质，先研究奇偶性、最值、零点，再通过图像得到单调性，这样符合从易到难，循序渐进的思维过程，更符合学生的认知水平。

另外由于周期性是三角函数特有的性质，所以我们着重对周期性的概念进行了讲解，通过问题5和问题6，从特殊到一般地给周期函数下了定义。得到周期性后，再介绍五点法，就显得十分自然。

总得来说，我认为这节课整体化地对正弦函数的图像与性质进行了概括，对正弦函数与周期性的定义做了重点讲解，使学生对三角函数有了一个良好的认知框架，再之后的学习中，再逐步细化，这样会取得更好的效果。