平方差公式的应用名师教学设计1

第2课时

平方差公式的应用

教学目标

一、基本目标

1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简

便运算；

（重点）

2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的

思想方法. （难点）

教学过程

环节1

复习引入1.问：平方差公式是怎样的？

2.应用平方差公式满足条件：

两项相同，两项互为相反数

结果特征：相同项的平方减相反项的平方

3.利用平方差公式计算：

（1）(2x+7b)(2x–7b)；

（2）(－m+3n)(m+3n) 4.你能快速的计算201×199吗？

【5 min阅读】

阅读教材P21～P22的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

(一)探索平方差公式的几何背景

如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．

(1)请表示图中阴影部分的面积：a2－b2；

(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图2)，这个长方形的长和宽分别是a＋b，a－b，它的面积是(a＋b)(a－b)；

(3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？说一说验证的理由．

解：能．理由：阴影部分的面积是不变的，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (二)利用平方差公式探索规律

(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点．

7×9＝！！！

63

###8×8＝！！！

64

###79×81＝！！！

6399

###

80×80＝！！！

6400

###

11×13＝！！！

143

###

12×12＝！！！

144

###

(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？

解：一个自然数的平方比它相邻两个自然数的积大1 (3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？

解：(a+1)(a-1)＝a2－1．证明：根据平方差公式，得(a+1)(a-1)＝a2－12＝a2－1. 环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】(教材P22例3)用平方差公式进行计算：

(1)103×97;

(2)118×122. 【互动探索】(引发学生思考)平方差公式有什么特点？怎样计算？

【解答】(1)原式＝(100＋3)(100－3) ＝1002－32

＝9991. (2)原式＝(120－2)(120＋2) ＝1202－22

＝14 396. 【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类题目的关键是恰当变形，将其变化为两数和与两数差的积的形式，使复杂的计算简单化，以达到事半功倍的效果．

【例2】

计算：

(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3)

. 【互动探索】(引发学生思考)先对代数式进行化简→代入已知值求化简后代数式的值．

【解答】解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2

=a4－a2b2+a2b2

=a4; (2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)

=4x2－25－4x2+6x

=6x－25.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，可以利用平方差公式的可以先计算，这样可以简化计算。

活动2

巩固练习(学生独学)王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？

解：李大妈吃亏了．理由如下：

原正方形的面积为a2，

改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16. ∵a2＞a2－16，

∴李大妈吃亏了．

【互动总结】让学生用代数方式和几何方式来解释这个题，体现数学的数形结合的思想。

1.已知a=7202,b=721×719；则（

）

A.a=b

B.a>b

C.a

D.a≤b 2.97×103=(

)×(

)=(

). 3.(x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是______.

4.利用平方差公式计算：（1）51×49

（2）13.2×12.8；

（3）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2). 解：(1)原式=(50+1)(50-1)

=502－12

=2500-1=2499；

(2)原式=(13＋0.2)×(13－0.2)

＝132－0.22

＝169－0.04＝168.96. (3)原式=(9x2－16)－(6x2+5x-6)

=3x2－5x－10. 5.计算: (1) 20182 －2019×2017; 解:20182－2019×2017 =20182－(2018＋1)(2018－1) =20182－(20182－1) =20182－20182＋1 =1.

(2) (y+2) (y－2) –

(y－1) (y+5) . 解：(y+2)(y－2)－

(y－1)(y+5)

= y2－22－(y2+4y－5)

= y2－4－y2－4y+5 1.(x－y)(x+y)(x2+y2)；

解：原式=(x2－y2)(x2+y2) =x4－y4；

= －4y + 1. 2.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是______ 解析：A=(2+1)(22+1)(24+1)

=[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)

=[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)

=[(24－1)(24+1)]÷(2－1)

=(28－1)÷(2－1)

=28－1．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 

平方差1.符号表示：a＋ba－b＝a－b平方差公2.抓住“一同一反”这一特征，只有式的应用

两个二项式的积才有可能应用平注意

方差公式；不能直接应用公式的，

可变形后应用22内容：两数和与这两数差的积，等于它们的

练习设计

请完成本课时对应练习！