平方差公式的应用优质课教学设计

1.6 完全平方公式（1）

主备：赵继红

审核：七年数学组

时间：2019.2.27

一、学习目标

1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算

2．了解完全平方公式的几何背景

二、学习重点：会用完全平方公式进行运算

三、学习难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算

四、学习设计

（一）预习准备

（1）预习书p23-26 （2）思考：和的平方等于平方的和吗？

（3）预习作业：

（1）(3a2b)(3a2b)

（2）(3a2b)(3a2b)＝

（3）(p1)2(p1)(p1)

（4）(m2)2

（5）(p1)2(p1)(p1)

（6）(m2)2

（7）(ab)2

（8）(ab)2

（二）学习过程

观察预习作业中（3）（4）题，结果中都有两个数的平方和，而2p2p1,4m2m2，

恰好是两个数乘积的二倍．（3）、（4）与（5）、（6）比较只有一次项有符号之差，（7）、（8）更具有一般性，我认为它可以做公式用．

因此我们得到完全平方公式：

两数和（或差）的平方，等于它们的

，加（或减）它们的积的

倍．

公式表示为：(ab)2

(ab)2

口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央（加减看前方，同号加异号减）

例1．应用完全平方公式计算：

1(y)2

（1）（2）（3）(4mn)2

(ab)2 （4）(2xy)2

2

变式训练：

1．纠错练习.指出下列各式中的错误，并加以改正：

（1）(2a1)22a22a1

（2）(2a1)24a21

（3）(a1)2a22a1

2．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 ，把它计算出来

（1）xyyx （2）abba （3）ab3x3xab （4）mnmn

1

分析：完全平方公式和平方差公式不同：

22222

(ab)(ab)ab

形式不同：(ab)a2abb结果不同：完全平方公式的结果是三项，平方差公式的结果是两项

3．计算：

（1）(12x)2 （2）(2x1)2

1111（3）2mn2mn

（4）abab

2323

例2.计算：

11（1）(x2y)(x2y)(x24y2)； （2）(a3b)2(a3b)2；

22

（3）(2x3y4)(2x3y4).

方法小结 （1）当两个因式相同时写成完全平方的形式；（2）先逆用积的乘方法则，再用乘法公式进行计算；（3）把相同的结合在一起，互为相反数的结合在一起，可构成平方差公式。

变式议练2.计算：

（1）(4x2y2)[(2xy)2(2xy)2]； （2）(xy)2(xy)2(x2y2)2

（3）(xyz)(xyz)。

113，则x22________________ xx112.（2008·成都）已知yx1，那么x22xy3y22的值是33________________ 拓展：1.已知x3、已知x22(m1)xy16y2是完全平方公式，则m= 4、若(xy)212,(xy)216,则xy= 回顾小结：

2

1.6完全平方公式（2）

主备：赵继红

审核：七年数学组

时间：2019.2.27

一、学习目标

1．会运用完全平方公式进行一些数的简便运算

二、学习重点：运用完全平方公式进行一些数的简便运算

三、学习难点：灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算

四、学习设计

（一）预习准备

（1）预习书p26-27 （2）思考:如何更简单迅捷地进行各种乘法公式的运算? （3）预习作业： 1．利用完全平方公式计算

（1）982 （2）2032 （3）1022 （4）1972

2．计算：

（1）(x3)2x2

（2）(ab1)2(ab1)2

（二）学习过程

平方差公式和完全平方公式的逆运用

由ababa2b2

反之

a2b2abab

ab2a22abb2

1、填空：

a24(a2)(（1）

反之

a22abb2ab2

)25x2(5x)(（2）)m2n2(（3）)

)()

（4）x264()()（5）4m249(2m7)(（6）a4m4(a2m2)()(a2m2)()()

（7）若x24xk(x2)2

，则k = （8）若x2kx9是完全平方式，则k = 例1 计算：1.a12a22a4

2．2xy122xy12

现在我们从几何角度去解释完全平方公式：

从图（1）中可以看出大正方形的边长是a+b，

它是由两个小正方形和两个矩形组成，•所以

大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．

3

则S＝

＝

即：

如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是

；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是

，宽都是

，所以它们的面积都是

；正方形HCGM的边长是b，其面积就是

；正方形AFME的边长是

，所以它的面积是

．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．•也就是：（a-b）2=

．这也正好符合完全平方公式．

例2．计算: （1）(xy3)2

（2）(abc)2

变式训练：

（1）(ab3)2

（2）(xy2)(xy2)

（3）(ab3)(ab3)

（4）（x+5）2–（x-2）（x-3）

（5）（x-2）（x+2）-（x+1）（x-3）

（6）（2x-y）2-4（x-y）（x+2y）

拓展：1、（1）已知xy4,xy2，则(xy)2= （2）已知(ab)27,(ab)23，求a2b2________，ab________ （3）不论a、b为任意有理数，a2b24a2b7的值总是（ ）

A.负数 B.零 C.正数 D.不小于2 112、（1）已知x23x10，求x22和x44的值。

xx

（2）已知ab3,bc1，求a2b2c2abbcca的值。

（3）.已知x2y22xy6x6y90，求xy的值

回顾小结

4

1.7 整式的除法（1）

主备：赵继红

审核：七年数学组

时间：2019.2.27

一、学习目标：1.经历探索整式除法法则的过程，会进行简单的整式除法运算（只要求单项式除以单项式，多项式除以单项式，并且结果都是整式）. 2.理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及表达能力. 二、学习重点：可以通过单项式与单项式的乘法来理解单项式的除法，要确实弄清单项式除法的含义，会进行单项式除法运算。

三、学习难点：确实弄清单项式除法的含义，会进行单项式除法运算。

四、学习设计：

（一）预习准备

（1）预习书28～29页

（2）回顾： 1、74x4x5 2、2anan14m2 3、m1x6x3

2、（1）aa

（2）xx (3) a

a32a1a1 (4)

4523m3n13yyab(ab)xy(yx)xy3、（1） （2） （3）

（二）学习过程：

1、探索练习，计算下列各题，并说明你的理由。

（1）xyx52 （2）8mn2mn （3）abc3ab

222422

2、例题精讲

类型一 单项式除以单项式的计算

例1 计算：

（1）（-x2y3）÷(3x2y)； (2)(10a4b3c2)÷(5a3bc).

5

变式练习：

（1）（2a6b3）÷(a3b2)； (2)(x3y2)÷(x2y).

类型二 单项式除以单项式的综合应用

例2 计算：

（1）（2x2y）3·(-7xy2)÷(14x4y3)； (2)(2a+b)4÷(2a+b)2.

变式练习：

（1）(x2y2n)÷(x2)·x3； (2)3a(a+5)4÷〔a(a+5)3〕·(a+5)-1

类型三 单项式除以单项式在实际生活中的应用

例3 月球距离地球大约3.84×105千米，一架飞机的速度约为8×102千米／时

如果乘坐此飞机飞行这么远的距离，大约需要多少时间？

3、当堂测评

填空：（1）6xy÷(-12x)= .

(2)-12x6y5÷ =4x3y2.

(3)12(m-n)5÷4(n-m)3=

2(4)已知(-3x4y3)3÷（-3xny2)=-mx8y7,则m= ,n= .

6

计算：

(1) (x2y)(3x3y4)÷(9x4y5). (2)(3xn)3÷(2xn)2(4x2)2.

4、拓展：

（1）已知实数a,b,c满足|a-1|+|b+3|+|3c-1|=0,求(abc)125÷(a9b3c2)的值。

（2）若ax3my12÷(3x3y2n)=4x6y8,求(2m+n-a)-n的值。

回顾小结：

7

1.7 整式的除法（2）

主备：赵继红

审核：七年数学组

时间：2019.2.27

一、学习目标：1、熟练地掌握多项式除以单项式的法则，并能准确地进行运算．

2、理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及表达能力. 二、学习重点：多项式除以单项式的法则是本节的重点．

三、学习难点：整式除法运算的算理及综合运用。

四、学习设计：

（一）预习准备

预习书30--31页

（二）学习过程：

1、探索：对照整式乘法的学习顺序，下面我们应该研究整式除法的什么内容？

引例：(8x3-12x2+4x)÷4x= 法则：

2、例题精讲

类型一 多项式除以单项式的计算

例1 计算：

（1）(6ab+8b)÷2b； (2)(27a3-15a2+6a)÷3a；

练习：

计算：（1）（6a3+5a2）÷(-a2)； (2)(9x2y-6xy2-3xy)÷(-3xy)；

(3)(8a2b2-5a2b+4ab)÷4ab.

8

类型二

多项式除以单项式的综合应用

例2 (1)计算：〔(2x+y)2-y(y+4x)-8x〕÷(2x)

（2）化简求值：〔(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)〕÷(4x) 其中x=2,y=1

练习：（1）计算：〔（-2a2b）2(3b3)-2a2(3ab2)3〕÷(6a4b5).

（2）如果2x-y=10,求〔(x2+y2)-(x-y)2+2y(x-y)〕÷(4y)的值

3、当堂测评

填空:(1)(a2-a)÷a= ；

(2)(35a3+28a2+7a)÷(7a)= ；

33633524(3)( —3xy—6xy—27xy)÷(xy)= . 5

选择：〔(a2)4+a3a-(ab)2〕÷a = （ ) A.a9+a5-a3b2 B.a7+a3-ab2

C.a9+a4-a2b2 D.a9+a2-a2b2 9

计算: (1)(3x3y-18x2y2+x2y)÷(-6x2y)； (2)〔(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4〕÷(xy).

4、拓展：

（1）化简

2n422n22n3；

回顾小结：

10

）若m-n=mn,求m2n2222n2m2的值.

（

第一章《整式的运算》复习教案（1）

主备：赵继红

审核：七年数学组

时间：2019.2.28

复习目标：

掌握整式的加减、乘除，幂的运算；并能运用乘法公式进行运算。

一、知识梳理：

1、幂的运算性质：

（1）同底数幂的乘法：am﹒an=am+n（同底，幂乘，指加）

逆用： am+n =am﹒an（指加，幂乘，同底）

（2）同底数幂的除法：am÷an=am-n（a≠0）。（同底，幂除，指减）

逆用：am-n = am÷an（a≠0）（指减，幂除，同底）

（3）幂的乘方：（am）n =amn（底数不变，指数相乘）

逆用：amn =（am）n

（4）积的乘方：（ab）n=anbn 推广：

逆用， ab =（ab）（当ab=1或-1时常逆用）

（5）零指数幂：a0=1（注意考底数范围a≠0）。

（6）负指数幂：(底倒，指反) nnn2、整式的乘除法： （1）、单项式乘以单项式：

法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

（2）、单项式乘以多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc。

法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

（3）、多项式乘以多项式：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

（4）、单项式除以单项式：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

（5）、多项式除以单项式：(abc)mambmcm.

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

3、整式乘法公式：

（1）、平方差公式： (ab)(ab)a2b2 平方差，平方差，两数和，乘，两数差。

2公式特点：（有一项完全相同，另一项只有符号不同，结果=(相同）（不同)2

11

（2）、完全平方公式：

(ab)2a22abb2 首平方，尾平方，2倍首尾放中央。

(ab)2a22abb2

逆用：a22abb2(ab)2,a22abb2(ab)2.

完全平方公式变形（知二求一）：

22a2b2(ab)22aba2b2(ab)22ab

a2b21[(ab)(ab)]222a2b2(ab)22ab(ab)22ab1[(ab)(ab)]222[(ab)(ab)]

(ab)2(ab)24ab ab144.常用变形：(xy）=(y-x), (xy）=-(y-x)二、根据知识结构框架图，复习相应概念法则：

1、幂的运算法则：

①aman （m、n都是正整数）

②(am)n （m、n都是正整数）

③(ab)n （n是正整数）

2n2n2n12n+1

④aman （a≠0，m、n都是正整数，且m>n）

⑤a0 （a≠0）

⑥ap （a≠0，p是正整数）

练习1、计算，并指出运用什么运算法则

1 ①x5x4x3 ②()m(0.5)n ③(2a2b3c)2

2

12④(9)3()3()3 ⑤bn5bn2(b)2

33

2、整式的乘法：

单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式

平方差公式：abab 完全平方公式：ab2 ，ab2 12

练习2：计算

11①(a2b3)(15a2b2) ②(x2y2xyy2)3xy

32

③(3x9)(6x8) ④(3x7y)(2x7y) ⑤(x3y)2

3、整式的除法

单项式除以单项式，多项式除以单项式

练习3：①(a2bc)2(ab2c)

②(4a3b6a2b212ab2)(2ab)

13

第一章《整式的运算》复习教案（2）

主备：赵继红

审核：七年数学组

时间：2019.2.28

复习目标：

1、掌握幂的运算法则，并会逆向运用；熟练运用乘法公式。

2、掌握整式的运算在实际问题中的应用。

一、知识应用练习

1、计算

1①(3)0

②()2 ③(2a)a(2a)2 2

④(3x2y)(3x2y)(x2y)(5x2y)(4x)

二、例题选讲：

例1、已知xa4,xb9，求xa2b的值。

例2、已知ab10，ab24，求（1）(ab)2；（2）a2b2.

三、巩固练习：

1.已知xa4,xb9，求xab的值。

2.已知am5,a2n7,求a3m4n的值。

14

3.已知(xy)216，(xy)24，求xy的值。

四、课堂练习：

1、计算：

（1）a3a32a3a2 （2）x22x1x1

（3）x23x2x42x2 （4）2ab22ab2

（5）(xy2)(xy2)2x2y24(xy)

2、A与4x22x1的差为4x21，求A.

3、若2xy3，求4x2y的值。

4.常用变形：(xy）=(y-x), (xy）=-(y-x)二、根据知识结构框架图，复习相应概念法则：

1、幂的运算法则：

①aman （m、n都是正整数）

②(am)n （m、n都是正整数）

③(ab)n （n是正整数）

④aman （a≠0，m、n都是正整数，且m>n）

15

2n2n2n12n+1233

⑤a0 （a≠0）

⑥ap （a≠0，p是正整数）

练习3、计算，并指出运用什么运算法则

1 ①x5x4x3 ②()m(0.5)n ③(2a2b3c)2

2

12④(9)3()3()3 ⑤bn5bn2(b)2

33

2、整式的乘法：

单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式

平方差公式：abab 完全平方公式：ab2 ，

ab2 练习4：计算

11①(a2b3)(15a2b2) ②(x2y2xyy2)3xy

32

③(3x9)(6x8) ④(3x7y)(2x7y) ⑤(x3y)2

3、整式的除法

单项式除以单项式，多项式除以单项式

练习5：①(a2bc)2(ab2c)

②(4a3b6a2b212ab2)(2ab)

16