完全平方公式的应用教学实录及点评

北京师范大学出版社

七年级（下册）

《完全平方公式》教学设计

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教材分析

完全平方公式是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》七年级下册第一章第六节内容，是在学生已经学习了有理数的乘方运算、整式加减运算的基础上引入的，因此对学生学习兴趣的激发直接影响后继内容的学习；本节是完全平方公式的推导及其应用；完全平方公式的几何证明；；所以本节的重点是完全平方公式的推导过程。

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教学目标

【知识与能力目标】

1．完全平方公式的推导及其应用；

2．完全平方公式的几何证明；

【过程与方法目标】

1．经历探索完全平方公式的过程；

2．进一步发展符号感和推理能力；

【情感态度价值观目标】

1．对学生观察能力、概括能力、语言表述能力的培养，以及数学思想的渗透；

2．通过分组讨论学习，体会合作学习的兴趣；

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教学重难点

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【教学重点】

完全平方公式的推导过程；

【教学难点】

完全平方公式结构特点及其应用；

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课前准备

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教师准备

课件、多媒体；

学生准备；

练习本；

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教学过程

一、导入

多项式与多项式是如何相乘的？

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

（x＋3)( x＋3）=x2＋3x＋3x＋9=x2＋6x＋9

二、新课

观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？

( m + 3 )2= ( m + 3 ) ( m + 3 ) = m

2 + 3m + 3m + 9 = m

2 + 2×3m + 9 = m 2 + 6m + 9，

( 2 + 3 x ) 2 = ( 2 + 3x ) ( 2 +3 x ) = 22 + 2 ×3 x +2×3 x + 9 x2

= 4 + 2×2×3 x + 9 x2 = 4 + 12 x + 9 x2

．

完全平方公式的数学表达式：

22和的完全平方公式：(ab)2a2abb

22差的完全平方公式：(ab)2a2abb

两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，

加减看前方，同加异减。

想一想：（1）两个公式中的字母都能表示什么?

数或代数式

（2）根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗?

完全平方公式在计算化简中有些什么作用? 三、例题

例1 利用完全平方公式计算：

（1）( 2 x - 3 ) 2

；

（2）( 4 x + 5 y )2

；

（3）( mn - a ) 2

．

解：（1）(2x-3)2 = (2x)2-2·2x·3+32=4x2-12x+9；

（2）(4x+5y)2= (4x)2+2·4x·5y+(5y)2=16x2+40xy+25y2；

（3）( mn-a)2=(mn)2-2·mn·a+a2=m2n2-2amn+a2．

怎样计算1022

，1972

更简单呢？

（1）1022

；

（2）1972

．

（1）1022=(100+2)2

（2）1972=(200-3)2

= 1002+2×100×2+22

=2002-2×200×3+32

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= 10000+400+4

=40000-1200+9 =10404；

=38809．

能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算，进一步体会完全平方公式在实际当中的应用，并通过练习加以巩固。需要注意的是，本题的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，不要在简便运算上做过多练习。

例2 计算：

（1）( x + 3 ) 2 - x

2

；

（2）( a + b + 3 ) ( a + b - 3 )；

（3）( x + 5 ) 2 -（x-2）(x-3）

．

解：

（1）( x + 3 ) 2 - x

2

= x

2 + 6 x + 9 - x

2

= 6 x + 9；

（2）( a + b + 3 ) ( a + b - 3 ) = [ ( a + b ) + 3 ] [ ( a + b ) - 3 ] = ( a + b ) 2 - 3 2

= a

2 + 2 ab + b

2 - 9；

（3）( x + 5 ) 2 - ( x - 2 ) ( x - 3 ) = x

2 + 10 x + 25 - ( x 2 - 5 x + 6 ) = x

2 + 10 x + 25 - x

2 + 5 x - 6 = 15 x + 19．

四、习题

1、计算

（1）96 2

；

（2）( a - b - 3 ) ( a - b + 3 )．

解：

（1）96 2 =(100-4)2 = 1002-2×100×4+42 =9216

；

（2）( a-b -3 ) ( a -b+3 )=[( a

–

b)

- 3 ][ ( a

–

b) + 3 ]=( a

–

b)2-32=a

2–2a

b +b2-9．

五、拓展

1.完全平方公式的使用：

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在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a，b表示的意义，它们可以是数、也可以是单项式还可以是多项式，所以要记得添括号。

2.解题技巧：

在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择。

链接中考

1.（d+f）2等于（B ）

A .d3 -f3

B.d2 +2df+f 2

C.d2 -2f+f 2

D．d2 -df+f 2

2.（2b-2c）2等于

4b2-8bc+4c2

；

3.（3a-b）（3a+b）-（2a-b）2

解：（3a-b）（3a+b）-（2a-b）2

=9a2-b2-4a2+4ab-b2

=5a2+4ab-2b2

六、小结

完全平方公式的数学表达式：

22和的完全平方公式：(ab)2a2abb

222差的完全平方公式：(ab)a2abb

两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

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教学反思

1.

略。

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