幂的乘方国家优质课一等奖

1.2

幂的乘方与积的乘方

第1课时

幂的乘方与积的乘方(一)

贺兰三中 孙菊艳

教学目标

(一)教学知识点

1.经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义. 2.了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题. (二)能力训练要求

1.在探索幂的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力. 2.学习幂的乘方的运算性质，提高解决问题的能力. (三)情感与价值观要求

在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美. 教学重点

幂的乘方的运算性质及其应用. 教学难点

幂的运算性质的灵活运用. 教学方法

引导——探究相结合

教学过程

一.提出问题，引入新课

我们先来看一个问题：

一个正方体的边长是102毫米，你能计算出它的体积吗？如果将这个正方体的边长扩大为原来的10倍，则这个正方体的体积是原来的多少倍？

结果：(102)3，(103)3很显然不是最简，你能利用幂的意义，得出最后的结果吗？大家可以独立思考. 结论：可以.根据幂的意义可知(102)3表示三个102相乘，于是就有(102)3=102×102×102=102+2+2=106；同样根据幂的意义可知(103)3=103×103×103=103+3+3=109.于是我们就求出了V=106立方毫米，V1=109立方毫米. 我们再来看(102)3，(103)3这样的运算.102，103是幂的形式，因此我们把这样的运算叫做幂的乘方.这节课我们就来研究幂的第二个运算性质——幂的乘方. 板书课题：幂的乘方

二.探索幂的乘方的运算性质

做一做：计算下列各式并说明理由. (1)(62)4；(2)(a2)3;(3)(am)2;(4)(am)n. 我们观察不难发现，上面的4个小题都是幂的乘方的运算，下面就请同学们利用幂的意义和我们学习过的内容解答它们. (1)(62)462·62·62·6262+2+2+2=68. 第①步的理由是利用了幂的意义.(62)4表示4个62相乘；第②步的理由是利用了我们刚学过的同底数幂的乘法：底数不变，指数相加.

结果的指数8=2×4，刚好是原式子中两个指数的积，而运算前后的底数没变，还是6. (2)、(3)、(4)小题可以同样地利用幂的意义和同底数幂的乘法的性质来推出结果呢？

请三位同学到黑板上推出，其余的同学观察他们做的有无错误. (2)(a2)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6=a2×3; (3)(am)2=am·am=am+m=a2m; mmm(4)(am)n=aaa

n个amn个mmmm=a=amn. 由上面的“做一做”我们就推出了幂的乘方的运算性质，即

(am)n=amn(m,n都是正整数) 用语言表述即为：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 三.例题讲解

［例1］计算：

(1)(102)3；(2)(b5)5;(3)(an)3; (4)－(x2)m;(5)(y2)3·y;(6)2(a2)6－(a3)4. ［例2］如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙球的n3倍. 地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？

图1－14 例1的(1)、(2)、(3)题，可以发现它们都是幂的乘方的运算.解：(1)(102)3=102·102·102=102+2+2=102×3=106；

(2)(b5)5=b5·b5·b5·b5·b5=b5+5+5+5+5=b5×5=b25; (3)(an)3=an·an·an=an+n+n=a3n. x2x2x2=－(4)－(x2)m表示(x2)m的相反数，所以－(x2)m=－m个x2m个2222x=－x2m; (5)(y2)3·y中既含有乘方运算，也含有乘法运算，按运算顺序，应先乘方，再做乘法，所以，(y2)3·y=(y2·y2·y2)·y=y2×3·y=y6·y=y6+1=y7; (6)2(a2)6－(a3)4按运算顺序应先算乘方，最后再化简.所以

2(a2)6－(a3)4=2a2×6－a3×4=2a12－a12=a12. 再来看幂的乘方在实际中的应用——例2. 四.练一练

1.计算：

(1)(103)3；(2)－(a2)5;(3)(x3)4·x2; (4)［(－x)2］3;(5)(－a)2(a2)2; (6)x·x4－x2·x3. 2.判断下面计算是否正确？如有错误请改正：

(1)(x3)3=x6;(2)a6·a4=a24.

1.解：(1)(103)3=103×3=109；

(2)－(a2)5=－a2×5=－a10; (3)(x3)4·x2=x3×4·x2=x12·x2=x12+2=x14; (4)［(－x)2］3=(－x)2×3=(－x)6=x6; (5)(－a)2·(a2)2=a2·a2×2=a2·a4=a2+4=a6; (6)x·x4－x2·x3=x1+4－x2+3=x5－x5=0. 练习小结：我们学习了幂的乘方的运算性质很容易与同底数幂的乘法的运算性质混淆.通过练习的第2题，同学们可反思一下做题的过程，注意幂的意义和乘方的意义，真正地去理解这两个幂的运算性质，而不是去单纯的记忆. 五.课时小结

我们这节课通过乘方的意义和幂的意义推出了幂的乘方的运算性质，并通过实际问题体会到了学习这个性质的必要性，从而提高了我们的推理能力，有条理的语言表达能力和解决实际问题的能力. 六.课后作业

课本第1、2、3题. 七．板书设计

1.2. 幂的乘方与积的乘方(一) 一、提出问题：

(102)3，(103)3如何计算？

二、根据乘方的意义和幂的意义，推出幂的乘方的运算性质

(102)3=102·102·102=102+2+2=102×3=106；

(103)3=103·103·103=103+3+3=103×3=109；

(62)4=62·62·62·62=62+2+2+2=62×4=68；

……

(an个an个mmnmmmmmm)=aaa=a=mn

ma得出：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 三、例题

四、练习