平方差公式的应用教学设计和教学实录

北师大版（数学）七年级下册第一章第五课

《平方差公式》教学设计

西

安

市

经

开

第

一

中

学

课题：《平方差公式》；

教材版本：北师大版；

课时：2课时. 《平方差公式》教学设计

设计者：褚媛媛

一、【教材分析】：

《平方差公式》是北京师范大学出版社（数学）七年级下册第一章第5节P20内容，是在学生学习了幂的相关运算及多项式的乘法后学习的一个公式，也属于多项式乘多项式，只不过是特殊的多项式乘多项式，满足两数和与两数差的乘积的形式，也就是具有相同项和相反项的二次二项式相乘时的规律，平方差公式的学***的方便了学生计算相关题目，同时也为后边学习因式分解、分式化简及其它代数式的变形做了铺垫. 二、【学情分析】： 知识上，学生在初一上册已经学习了整式的加、减运算，在这节课之前也学习了幂的相关运算、整式的乘除运算等，初步体会了代数式运算在解决“具有一般性”的问题中的作用，也进一步体会了整式运算的意义，本节课注重学生对算理的理解和运算能力的提高，注重学生数感、符号意识的发展，在能力上，学生已具备了一定的观察归纳总结能力，但本课主要是通过几个具体的题目，使学生在计算的过程中发现规律，并用自己的语言进行表达，重在培养学生观察、归纳、概括等能力，但是学生基础，

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理解能力，语言表述能力、运算能力等参差不齐，学生总结起来

还是有一定的难度，这就需要老师想办法引导学生，巧妙的设计提问，一方面能够调动学生的积极性，另一方面推动学生的思维达到预期想要的结果，同时这块要给学生充足的思考时间，更大的试错空间，不断引导不断补充完善，所以不能急；在情感方面，现阶段大部分学生学习方法单一，思考不全面，所以老师还要教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、归纳等数学思想的学习方法，培养学生的自信心和主动性 . 三、【课标要求】：

能推导乘法公式(ab)(ab)a2b2等，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简便计算. 四、【设计思想】： 本节课以建构主义基本理论为指导，注重新旧知识之间的联系，知识之间的层层递进，以新课标基本理念为依据进行设计的，为他们提供自主探究、合作交流的机会，充分体现“教师为主导，学生为主体”的教学原则.同时注重每一类题型的方法规律总结。由于本节课是一节概念课，我也选择了以练习为主对新知进行巩固，因此选择了多媒体辅助教学,节省了时间加大了课堂容量，从而达到一定的教学效果.

五、【教学目标】：

1、三维目标：

知识与技能：

1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感与推理能力．

2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理．

过程与方法：

回顾多项式乘以多项式法则→通过对几个特殊多项式乘多

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项式运算的观察→探讨各项之间的关系，探讨左右等式的关系，进一步总结出平方差公式→学生独立找出在平方差公式中所应注意的问题→教师进行归纳总结. 情感态度与价值观目标：

通过观察、分析、归纳、感受探索的乐趣与成就感增强学生的信心，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度，增强学生的数学应用意识，及整体思考与观察的意识. 2、教学重难点：

重点：会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理．

难点：会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理．

六、【教法、学法分析】：

1、教法分析：

本节课采用直观教学法、启发教学法，精心设计问题情景，引导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程，充分体现“教师为主导，学生为主体”的教学原则.采用这些方法的具体实施过程如下：

①由旧知引入，通过从一般多项式乘多项式到特殊的多项式乘多项式的过程，让学生找出符合平方差公式的特点，进一步总结得出平方差公式，让学生体会从一般到特殊的过程，同时发展学生的数学核心素养，即发展学生的“数感、符号意识、数据分析观念、运算能力、推理能力和应用意识”; ②再次回过头观察平方差公式，指出在应用平方差公式时应注意的问题，既要能看出什么样的多项式乘以多项式可以平方差公式进行简便运算，即平方差公式的应用条件，同时还要知道平方差公式能用于那些题目，即平方差公式的选用原则; 3

③在学生总结的基础上，教师再次进行总结归纳平方差公式的特点及注意条件; ④新知应用，从易到难依次进行. 2、学法指导：

学法指导，学生通过对特殊多项式乘以多项式进行计算、观察、分析、归纳平方差公式.所以教师设置的问题很关键，不能过难，从易入手让学生先看出规律，然后在进行补充拓展，引导学生观察总结得出结论，再通过应用练习巩固新知. 七、【教学过程】：

教学流程：阅读教学目标→回顾旧知→

计算、观察、分析总结出所给计算的特点→引出平方差公式

→观察归纳出平方差公式应注意问题→新知应用→总结规律方法→练习巩固(由学生回答）→当堂测查疑缺→总结.

1、知识回顾

：

提问：多项式乘多项式法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 符号表示：

（mb）(na)m(na)b(na)

mnmabnba【设计意图：让学生通过复习加深学生对多项式乘以

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多项式法则的掌握，同时为下边探索规律做一个铺垫.】

【学情预设：学生基本都能回答上来，但还是会存在三四个学生没有记住的，上课提问时会特意叫这几个学生来回答，回答不上来的换其他学生，互相补充不断完善，最后以ppt的形式展（mb）现给大家，同时会在念到“先用一个多项式”时，标红,在念到“每一项乘另一个多项式的每一项”时，会先将上述公式的第二行和第三行的m与b标红，读与展示同步进行，加深学生对多项式乘以多项式法则的理解与记忆.】

2、探究规律：

提问：计算下列各题：

（1）(x2)(x2)x24

（2）（13a）(13a)19a2

（3）（x5y）(x5y)x225y2

（4）（2yz）(2yz)4y2z2

观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？

（ab）(ab)a2b2

【设计意图：在知识回顾之后，通过对形式特殊的多项式乘以多项式的运算，让学生在计算过程中和对计算的结果进行分析发现规律，体会规律的一般性，并举手发言，说出自己的发现，初步体会平方差公式的特点.】

【学情预设：学生能够主动地去寻找解决问题的方法.利用多

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项式与多项式的乘法法则展开后，然后进行观察、分析、举手发言，但是得学生之间互相进行补充，一个学生说不全，最后将大家的发现进行再次的归纳，得出中间两项相消，所以式子左边是两数和与两数差的乘积，右边是两数的平方差.可以达到设计意图，初步得到平方差公式的特点.】

3、验证发现：

类比活动一中归纳的规律，学生自己再举一些类似的多项式相乘的情形，并计算验证自己的猜想. 【设计意图：部分学生可能对平方差公式的特点还没感觉，所以让学生自己举例计算，学生经过自己的思考、讨论、交流进一步更深刻的感受平方差公式的特点，熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件.这样就让学生经历从特殊到一般的探究结论的过程，从而验证发现，得到特点.】

【学情预设：部分学生会不知所措不知道怎么举例，所以这块会安排成以小组进行，互相讨论交流，彼此帮助带动其他学生一起探讨，达到对新知的应用.】

4、给出新知：平方差公式

符号语言：（ab）(ab)a2b2

文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 注意：

1、左边为两个二项式之积，其中一项（a）完全相同，另一项（b）与（﹣b）互为相反数；

2、

右边为

相同项2-互为相反数项2（即相同项的平方减去互为相反数的平方）；

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3、公式中a、b可以是数字，也可以是单项式和多项式. 【设计意图：让学生进一步理解平方差公式.】

【学情预设：在学生总结平方差公式的特点时学生也基本上体会到了该注意的问题，所以学生在这个问题的回答上较容易些，但不排除还需要教师进一步引导.】

5、新知应用：

例1：判断下面计算是否正确

( （1）111x1)(x1)=x21 （ ）

222 （2）（3xy）(3xy)9x2y2 （ ）

（3）（mn）(mn)m2n2 （ ） 【设计意图：通过判断题的设计，让学生进一步加深对平方差公式形式的理解.】

【学情预设：学生在平方差公式的基础上，结合判断题，再次体会平方差公式的应用条件，进一步理解怎么确定平方差公式中的a和b.】

例2 利用平方差公式计算：

（1）（a+2）（a－2）； （2）（3a+2b）（3a－2b）：

（3）5+6x）（5－6x） （4）（x－2y）（x+2y） （5）（－m+n）（－m－n）

【设计意图：在深刻理解公式的基础上，借助例题训练学生正确应用公式计算，体会公式在简化运算中的作用，并通过巩固练习，进一步强化技能.】

【学情预设：此环节的设计注意层次的递进，符合学生的认 7

知过程.在计算过程中，让学生分析公式中的a和b，相对应本题中的哪部分，有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力.】

6、练习（巩固新知）：

利用平方差公式计算： 11xy）(xy)； （2）

；

（ab8）(ab8)4411（xy）(xy)； （4）

（3）

（mn3）(mn3). 33（（1）

【设计意图：此题是对平方差公式的拓展与延伸，使学生从不同的角度来认识平方差公式，从符合平方差公式运算的不同形式的多项式相乘中，确定平方差公式中的a和b，巩固平方差公式，进一步体字母a、b可以是数，也可以是整式，加深对字母含义广泛性的理解.】

【学情预设：学生在确定公式中a和b时，有一定难度，教师应引导学生仔细观察题目，分析题目当中谁相当于公式当中的a与b，帮助学生突破难点.】

7、想一想

（a−b）（－a−b）=？你是怎样做的？

用平方差公式计算下列各题：

1、（5mn）(5mn) 2、（ab）(ab)(a2b2)

22（ab）(ab)(ab)

3、1121（x）(x)(x)

4、224 【设计意图：“想一想”目的，是让学生体会平方差公式和多项式乘法之间的关系，可以利用整式乘法解决，也可以利用平方差公式，体会新、旧知识之间的联系，并通过“练一练”，进

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一步感受平方差公式在简化计算中的简便.】

【学情预设：学生在处理“想一想”时，部分学生可能没看出可应用平方差公式，从而采用多项式乘多项式计算，教师应给与肯定.通过不同方法在黑板的展示，让学生自己经历选择方法的过程，加深对平方差公式的理解和应用】

8、当堂测·查疑缺

利用平方差公式计算：

（x2）(12)

1、（0.1x3y）(0.1x3y) 2、111(x)(x)(x2)

224 3、【设计意图：再次对学生关于本节课的掌握情况进行检测，同时也让学生对自己这节课的学习情况有个两节.】

【学情预设：学生基本都能回答上来.】

八、【课堂小结】： 1、平方差公式：（a+b）（a－b）=a－b 公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，右边是两数的平方差，即两数和与这两数差的积；

2、应用平方差公式的注意事项：

（1）注意平方差公式的适用范围

（2）字母a、b可以是数，也可以是整式

（3）注意计算过程中的符号和括号

【设计意图：通过课堂小结对课堂知识点的回顾，让学生再

次总结平方差公式，达到进一步巩固所学知识目的.】

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【学情预设：大家一起回答，学生应该都能答出来.】

九、【作业布置】： 1、 P21：习题1.9的1、2题 2、完成名校14页

3、课后思考： 你能用图形来验证平方差公式吗？并于下节课展示你的结果。

【设计意图：课下练习对所学知识进行再思考，再深入，再巩固.】

十、【板书设计】：

平方差公多媒体

式

（ab）(ab)a2b2

引入

多项式乘以多项式法则（符号语言）

学生练习

符号语言

3点注意

例题展示

十一、【评课记录】：

1、总结规律是个难点，这块要注意引导，时间再给足一些；

2、注意属于技巧层面，所以先给学生练习完了后再提出

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平方差公式应该注意的内容；

3、多项式乘以多项式直接用多项式乘多项的法则进行，不用由多乘多变成多乘单再变成单乘单；

4、题量有点多，简单的少点，避免重复，要有题目梯度；

5、多加强个体化提问 十二、【教学评价及反思】： 我通过对一系列问题情景的设计，让学生在问题解决的过程中体验成功的乐趣，实现对本课重难点的突破，教学时间分配合理，为使课堂形式更加丰富，也可将某些问题改成讨论题.在学生分析、归纳、建构概念的过程中，可能会出现理解的偏差，教师应给予恰当的梳理.本节重点设计了平方差公式的认识与简单应用，关于平方差公式的几何证明、几何应用以及简便计算放在下节课进行，本节课总结运算规律得出平方差公式是个难点，所以在总结规律时时间应该再充分一些，关于平方差公式应该注意的内容放到最后会更好，这时学生已经做了大量题目，认识或更深刻些，这样再总结的话学生就更容易掌握了，注意属于技巧层面，所以先练再指出注意。在题目的设置上还是没有梯度，简单的少做几道，题目之间要层层递进，这样可以打开学生的思维，带动学生的积极性。

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