平方差公式的应用课件配套优秀教案案例

14.2.1平方差公式

一、教学目标

1.知识与技能

会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算和解决实际问题。

2.过程与方法

经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式。

3.情感态度与价值观

通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性，体验数学活动充满着探索性和创造性。

二、教学重点

平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解。

三、教学难点

准确把握运用平方差公式的特征，应用平方差公式解决实际问题。

四、教学过程

（一）复习引入

多项式与多项式是如何相乘的？

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 例如：（x＋3)( x＋5）

=x2＋5x+3x+15 =x2＋8x+15 （二）新知探究（平方差公式）

1.探究发现

5米

a米

(a-5)米

a米

5米

思考：蓝色部分面积变了吗？面积相等吗？

（算一算）看谁算得又快又准. 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

①（x

＋

1)( x－1）；

②（m

＋

2)( m－2）；

③（2x＋

1)(2x－1）；

2 22解答：

①（x

＋1)( x－1）=x－

1，

x

－

1

2 2

22

②（m＋

2)( m－2）=m－22 2

m－2

22

③（2m＋

1)( 2m－1)=4m－

1思考：这些计算结果有什么特点？

2.知识要点

平方差公式

22(2m)

－

1

(a+b)(a-b)=a-ab+ab-b

22 =a-b

两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。

即

22(a+b)(a-b)=a-b

这个公式叫做（乘法的）平方差公式。

公式变形: 22①

（a – b ) ( a + b) = a - b

22②

（b + a )( -b + a ) = a - b

注：这里的两个数可以是两个单项式也可以是两个多项式等。

（练一练）口答下列各题：

22b-a

(l)(-a+b)(a+b)=_________. 22a-b

(2)(a-b)(b+a)= __________. 22a-b

(3)(-a-b)(-a+b)= ________. 22b-a

(4)(a-b)(-a-b)= _________. 3.典例精析

例1 计算：(1) (3x＋2)(3x－2 ) ；

(2) （-x+2y)(-x-2y). 22解: (1)原式=(3x)－2

2=9x－4；

22(2) 原式=(-x) -(2y)

22=x - 4y. 例2 计算: (1) (y+2) (y-2)–(y-1) (y+5); (2) 102×98. 解:（1）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) (2) 102×98

22= y-22-( y+4y-5)22 =（100＋2）(100－2) 22= y-4-y-4y+5

= 100-2

= - 4y + 1

=10000 – 4

=9996 例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.

2222解：原式＝4x－y－(4y－x)

2222＝4 x－y－4 y＋x

22＝5 x－5 y

当x＝1，y＝2时，

22原式＝5×1－5×2＝－15. （三）当堂检测

必做题：

1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( C ) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) 2.计算（2x+1）（2x-1）等于（

A ）

222A．4x-1 B．2x-1 C．4x-1 D．4x+1 3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是__10___．

4.利用平方差公式计算：

（1）(a+3b)(a- 3b) （2）(3+2a)(－3+2a)；

（3）（a-2)(a+2)(a2 + 4) （4）2015－

2014×2016.

232 5.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x(1－x)＋x，其中x＝2.

选做题：

223已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x，(1－x)(1＋x＋x)＝1－x，(1－x)(1＋x＋23n+1x＋x)＝

1－x

2n(1)观察以上各式并猜想：

(1－x)(1＋x＋x＋…＋x)＝__

______；(n为正整数)

(2)根据你的猜想计算：

-63

①(1－2)(1＋2＋2＋2＋2＋2)＝__

______；

23nn＋11002345②2＋2＋2＋…＋2＝________(n2－2

为正整数)；

x_______－1

③(x－1)(x＋x＋x＋…＋x＋x＋1)＝_

；

(3)通过以上规律请你进行下面的探索：

①(a－b)(a＋b)＝________a

－b

；

a

－b

②(a－b)(a＋ab＋b)＝________；

a

－b

．

③(a－b)(a＋ab＋ab＋b)＝________（四）课堂小结

平方差公式

（五）课后作业

必做题：

1.利用平方差公式计算：

(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)；

(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．

2.计算: (1) 51×49; 注意

2.紧紧抓住

“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用

223223442233229998972两个数的和与这两个数的差的积内容

，等于这两个数的平方差

1.符号表示：（a+b)(a-b)=a-b

(2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) 选做题：

3.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？

4.王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？