习题1.2精品学案

第3讲

客观“瓶颈”题突破——冲刺高分

题型概述

“瓶颈”一般是指在整体中的关键限制因素，例如，一轮、二轮复习后，很多考生却陷入了成绩提升的“瓶颈期”——无论怎么努力，成绩总是停滞不前.怎样才能突破“瓶颈”，让成绩再上一个新台阶？全国高考卷客观题满分80分，共16题，决定了整个高考试卷的成败，要突破“瓶颈题”就必须在两类客观题第10，11，12，15，16题中有较大收获，分析近三年高考，必须从以下几个方面有所突破，才能实现“柳暗花明又一村”，做到保“本”冲“优”.

压轴热点1 函数的图象、性质及其应用

2|x|例1．

(2016·全国Ⅰ卷)函数y＝2x－e在[－2，2]的图象大致为(

)

2|x|2解析

(1)令f(x)＝2x－e(－2≤x≤2)，则f(x)是偶函数，又f(2)＝8－e∈(0，1)，故排除A，2xxB；当x>0时，令g(x)＝2x－e，则g′(x)＝4x－e，

2|x|又g′(0)<0，g′(2)>0，所以g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，故f(x)＝2x－e在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C

1

(2)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a＝－flog2，b＝f(log24.1)，c5＝f(2)，则a，b，c的大小关系为(

) A.a

(2)∵f(x)是R上的奇函数，

11∴a＝－flog2＝f－log2＝f(log25). 55又log25>log24.1>2，1<2<2，

因此log25>log24.1>2，

结合函数的单调性：f(log25)>f(log24.1)>f(2)，

0.80.80.80.8B.b

D.c

所以a>b>c，即c

答案

(1)B (2)C 探究提高

1.根据函数的概念、表示及性质求函数值的策略

(1)对于分段函数的求值(解不等式)问题，依据条件准确地找准利用哪一段求解，不明确的要分情况讨论. (2)对于利用函数性质求值的问题，依据条件找到该函数满足的奇偶性、周期性、对称性等性质，利用这些性质将待求值调整到已知区间上求值. 2.求解函数的图象与性质综合应用问题的策略

(1)熟练掌握图象的变换法则及利用图象解决函数性质、方程、不等式问题的方法. (2)熟练掌握确定与应用函数单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性及零点解题的方法. 【训练1】

(1)(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝mx＋1与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝(

) xi＝1A.0 C.2m 2B.m D.4m

2(2)设曲线f(x)＝m＋1cos x(m∈R)上任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，则函数y＝xg(x)的部分图象可以为(

)

1解析

(1)法一

由题设得(f(x)＋f(－x))＝1，点(x，f(x))与点(－x，f(－x))关于点(0，21)对称，则y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称.又y＝1)对称. 则交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对关于点(0，1)对称. 则(xiyi)xiyi0m2m,故选B. i1i1i1mmmx＋11＝1＋，x≠0的图象也关于点(0，xx2法二

特殊函数法，根据f(－x)＝2－f(x)可设函数f(x)＝x＋1，联立y＝x＋1，解得两个点xmx1＝－1，x2＝1，的坐标为或此时m＝2，所以 (xi＋yi)＝2＝m，故选B. y1＝0y2＝2，i＝1

(2)由f(x)＝1＋m·cos x，

得g(x)＝f′(x)＝－1＋m·sin x. 令F(x)＝y＝xg(x)＝－1＋m·xsin x，则F(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B，C. ππ又因为F(π)＝0，f＝－2答案

(1)B (2)D 压轴热点2 直线与圆的位置关系

【例2】

(2016·全国Ⅲ卷)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x＋y＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝23，则|CD|＝________. 信息联想

信息①：由直线l截圆x＋y＝12所得弦长|AB|＝23，联想到求弦心距，进而求得m的值及A，B坐标. 信息②：AC⊥l，BD⊥l，联想求AC，BD方程. 解析

设AB的中点为M，由题意知，圆的圆心为O(0，0)，半径R＝23，|AB|＝23，所以|3m－3|3|OM|＝3，即＝3，解得m＝－，

3m2＋122222222221＋m<0，知A不正确，选D. 42x－3y＋6＝0，由22解得A(－3，3)，B(0，23)，则AC的直线方程为y－3＝－3(x＋x＋y＝12，3)，BD的直线方程为y－23＝－3x，令y＝0，解得C(－2，0)，D(2，0)，

所以|CD|＝4. 答案

4 探究提高

解决直线与圆的位置关系要抓住两点：

(1)抓住直线、圆的几何特征，作出正确示意图，数形结合. (2)灵活利用圆的几何性质、寻找突破口，减少运算量. 【训练2】

已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x＋y－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积为2，则k的值为________. 解析

由圆的方程得x＋(y－1)＝1，所以圆心为C(0，1)，半径r＝1，

四边形PACB的面积S＝2S△PBC，因为四边形PACB的最小面积为2，所以S△PBC的最小值为1，而2222S△PBC＝r·PB，即PB的最小值为2，

此时PC最小为圆心到直线的距离，此时d＝以k＝2. 答案

2

12|5|k＋12＝1＋2＝5，则k＝4，因为k>0，所222

压轴热点3 函数与导数的综合应用

【例3】

若对任意的实数a，函数f(x)＝(x－1)ln x－ax＋a＋b有两个不同的零点，则实数b的取值范围是(

) A.(－∞，－1] C.(0，1) B.(－∞，0) D.(0，＋∞)

信息联想

信息①：由函数的零点，联想到函数图象交点，构造函数作图象. 信息②：由零点的个数及函数的图象，借助导数确定最值的大小关系. 解析

令f(x)＝0得(x－1)ln x＝a(x－1)－b，

1令g(x)＝(x－1)ln x，则g′(x)＝ln x＋1－，

x∴当0

当x>1时，g′(x)>0. ∴g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

作出y＝(x－1)ln x与y＝a(x－1)－b的大致函数图象，如图

∵f(x)恒有两个不同的零点，

∴y＝a(x－1)－b与g(x)＝(x－1)ln x恒有两个交点，

∵直线y＝a(x－1)－b恒过点(1，－b)，

∴－b>0，从而b<0. 答案

B 探究提高

利用导数解零点问题，主要是构造函数，利用导数研究函数的单调性，常见的构造函数的方法有移项法、构造形似函数法、主元法等. 【训练3】

(2017·石家庄质检)函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝2且f(x)在R上的导数f′(x)满足f′(x)－3>0，则不等式f(log3x)<3log3x－1的解集为________. 解析

设φ(x)＝f(x)－3x＋1，x∈R，

则φ′(x)＝f′(x)－3>0，φ(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

由f(1)＝2，知φ(1)＝f(1)－3×1＋1＝0，

又f(log3x)<3log3x－1，即f(log3x)－3log3x＋1<0. ∴φ(log3x)<φ(1)，得log3x<1，则0

(0，3)

压轴热点4 圆锥曲线及其性质

【例4】

(1)(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为(

) A.2 C.6 B.4 D.8 x2y2(2)(2016·山东卷)已知双曲线E：2－2＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，abCD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________. 信息联想

(1)信息①：由条件中准线、焦点联想确定抛物线C的方程y＝2px(p>0). 信息②：看到|AB|＝42，|DE|＝25，及点A，D的特殊位置，联想求A，D的坐标，利用点共圆，得p的方程. (2)信息①：看到矩形ABCD的四个顶点在E上， AB，CD的中点为E的两个焦点，想到双曲线2b的对称性，得AB⊥x轴，CD⊥x轴，且|AB|＝|CD|＝. 22a信息②：看到2|AB|＝3|BC|，想到由此构建关于a，b，c的方程，进而得关于的方程求e. 解析

(1)不妨设抛物线C：y＝2px(p>0)，

（22）4∵|AB|＝42，点A是圆与抛物线交点，由对称性设A(x1，22)，则x1＝＝. 2pp22ca又|DE|＝25，且点D是准线与圆的交点，∴D－，5且|OD|＝|OA|. 24p22从而＋(22)＝－＋(5)，解得p＝4. p2因此C的焦点到准线的距离是4. 22pb(2)由已知及双曲线的对称性得Ac，，

a2b所以|AB|＝，且|BC|＝2c，

22a又2|AB|＝3|BC|，所以2×2222b2a＝3×2c，

整理得2b＝2(c－a)＝3ac，

等号两端同除以a得2(e－1)＝3e，解得e＝2. 答案

(1)B (2)2 探究提高

1.涉及与圆锥曲线方程相关问题，一定要抓住定义，作出示意图，充分利用几何性质，简化运算. 2.双曲线的离心率与渐近线是高考的热点，求圆锥曲线离心率大小(范围)的方法是：根据已

22

知椭圆、双曲线满足的几何条件及性质得到参数a，b，c满足的等量关系(不等关系)，然后把b用a，c表示，求的值(范围). 【训练4】

(1)(2017·唐山一模)已知双曲线C：x－＝1的右顶点为A，过右焦点F的直3线l与C的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则S△ABF＝(

) A.3 33 422cay2B.3 233

8C.D.(2)已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，点M(x0，4)是抛物线C上一点，以M为圆心，|MF|为半径的圆被直线x＝－1截得的弦长为27，则|MF|＝________. 解析

(1)由双曲线C：x－＝1，得a＝1，b＝3. 3∴c＝a＋b＝2. ∴A(1，0)，F(2，0)，渐近线方程为y＝±3x，

不妨设BF的方程为y＝3(x－2)，

代入方程y＝－3x，解得：B(1，－3). 113∴S△AFB＝|AF|·|yB|＝·1·3＝. 222(2)由抛物线定义可得：|MF|＝x0＋，

2因为以M为圆心，|MF|为半径的圆被直线x＝－1截得的弦长为27，所以7＋(x0＋1)＝x0＋22，

4又16＝2px0，联立解得p＝4，x0＝2，故|MF|＝2＋＝4. 2答案

(1)B (2)4

2222y222pp