实习作业第二课时教案

《牛顿冷却模型》实习作业

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教学设计

福建省永安市第一中学

姜恩珠

指导教师：赖绍生

黄金明

一、教材分析

本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修人教A版》第三章的实习作业。

函数模型的应用主要体现在两方面，一是利用已知函数模型解决实际问题；二是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解决实际问题。在第三章3.2节函数模型及其应用中已经介绍了很多与实际问题有关的数学模型应用问题，学生对数学建模思想的运用已有一定的认知，只是缺乏实践性，所以学生对数学与生活的联系认知上比较空洞。这节实习作业——牛顿冷却模型，给了学生亲自实践，体会数学与生活的息息相关。在《普通高中数学课程标准》中明确要求：“高中数学课程要把数学建模思想以不同形式渗透在各模块和专题内容中，并在高中阶段至少安排一次较为完整的数学建模活动”。因此，在高中阶段的学习中对数学建模能力的培养十分重要并势在必行。

同时，知识经济的今天，人们对知识应用价值的重视程度超越人类历史的任何一个时期，尤其是对本身就具有广泛应用价值的数学来说，更加重视学科在生产生活中的实际应用价值。让学生亲历数学建构，逐步认识事物，发现真理，从而培养学生的建模能力，实践能力和创新能力。同时，新高考的改革更加重视数学的应用意识，对学生的建模能力、实践、创新能力的要求更高。对牛顿关于物体在常温环境下温度变化的冷却模型的验证和研究，就是为了让学生主动的去寻找数学与生活的联系，运用数学的思想方法、知识等解决实际生活中的问题，也让学生对所学的数学知识的认知不再空洞，而是具有其现实意义。

二、学情分析

本节实习作业前，学生在第三章3.2节函数模型及其应用中已经介绍了很多与实际问题有关的数学模型应用问题，学生对数学建模思想的运用已有一定的认知，只是缺乏实践性，因此学生对数学与生活的联系认知上比较空洞。

另外，高一学生处在青春发展期，思维不够严谨，逻辑能力不强，专注度不高，很难将所学知识联系起来；同时，数学建模能力虽有一定的锻炼，但对于用数学的观点和思想提炼生活中的实际问题还不擅长，需要老师引导。但是，也由于他们的青春活泼，对事物都有一定的好奇心，这就给他们自主合作学习提供了研究的思想基础。

这节课中要涉及到很多复杂的计算，需要借助信息技术工具，这对学生而言也有一定的难度；同时，学生的生活经验不足，在思考问题时会有一定的障碍。但是，高一的学生对生活还是充满好奇，教师做好引导工作，帮助学生克服困难。

三、设计理念

本节课的教学设计主要围绕四个目标进行：培养学生的自主合作学习、培养学生的数学建模能力、培养学生的科学研究精神、合理利用信息技术等资源解决数学问题。

1、组织学生进行小组合作，分工交流，共同完成开水温度的变化与时间的实验。在实验过程中，小组学生分工合作，针对实验现象进行讨论、上网查询资料、咨询老师等等途径寻求帮助。在分组时，教师要将不同层次的学生合理分组，有助于小组合作学习。

2、引导学生观察生活中的现象，发现问题，提出问题，利用数学建模思想解决问题。

3、通过对牛顿冷却模型的验证，培养学生敢于质疑的科学精神，这是创新人才必备的素质。

4、在实验过程中会涉及到一些复杂的计算，需要借助信息技术工具，如科学计算器等。现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻影响。在教学过程中要合理利用现代化信息技术工具，既帮助学生理解，也与时代接轨。

四、教学目标

1、知识与技能：掌握实验检验的基本方法，能初步运用数学建模的思想解决现实中的问题，能通过现代信息技术进行数学辅助研究。

用函数模型解决实际问题

检验

符合实际

不符合实际

求函数模型

收集收据

→

画散点图

→

选择函数模型

2、过程与方法：通过本节课的实验，让学生掌握研究方法；通过小组合作学习，倡导学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式；利用函数模型解决实际问题，培养学生数学建模思想。

3、情感态度与价值观：注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；让学生体验探究的乐趣，培养学生善于发现、敢于质疑的学习精神，培养学生学习数学的信心。

五、教学重难点

教学重点：掌握实验研究方法，数学建模思想解决问题的过程；引导学生运用已学的数学知识解决一些实际问题。

教学难点：通过网络、图书等途径找资料，利用牛顿冷却模型论证实验结果，并进一步深入探究“热牛奶结冰快，还是冷牛奶结冰快”；如何运用数学的知识、思想方法等解决实际问题。

六、教学过程

教学环节

教师活动

引例：

学生活动

设计意图

通过课堂上两杯不同热水的情境引入，调动学生的学习积极性，引起学生思考，为本节内容做好铺垫。

一、情境引入，引出课题学生独立思考，各抒己见

两杯不同温度但其他思路1：从数学观点看，这个问题说明物体温度变化与时间有关，可能符合一次函都相同的热水，在相同的数模型，所以相同的时间后，两杯水的温时间范围内，如：3min后，度变化差不多；

哪一杯温度变化大（降的思路2：温度变化不仅与时间有关系，应更多）？6 min呢？温度该还与所处的环境有关。它的变化与时间不是呈现线性相关，但是不知道是什么关变化与时间符合哪种数学系。

模型呢？

二、新知学习，牛顿冷却模型牛顿冷却模型：

物体的初始温度是1，环境温度0，则经过时间t后物体的温度

0（1-0）ekt

其中k为正的常数。

问题1：这个模型中有几个量？哪些是常量，哪些是变量？

问题2：可以知己求己？哪些量可以通过测量，哪些量可以通过计算？

问题3：它是哪一种函数模型？它的图像是呈现什么趋势，与谁有关？

1、

学生通过网络、图书、教师与长辈等途径学习牛顿冷却模型，理解实验原理。

2、

通过小组合作学习，互相交流学习牛顿冷却模型。

3、利用几何画板展示该函数的图像，通过系数的变化观察这个模型的图像变化特征。

让学生学会通过不同的途径学习新知，通过此实验学会自主合作学习。

将牛顿冷却模型分析透彻，学生在进行实验时才能明确测量目标。

要让学生学会利用现代化的技术工具计算，简便运算的同时也体会科学技术的发展带给人们的便利。

三、分组实验，合作学习

1、引导学生进行分组1、小组成员合作学习、组内讨论，确定实验，将学生合理分组，分工。

如成绩、个性等不同，2、确定实验步骤。

有利于学生的合作学3、准备实验器材。

习。

4、实验步骤。

2、布置实验任务：

5、利用牛顿冷却模型，借助科学计算器探究牛顿冷却模型

求出环境温度0。

将学生分组实验，小组成员各抒己见，互相讨论，相互学习。

“实践是检验真理的唯一标准”，让学生“知其然，则知其所以然”，通过动6、将上述计算出的环境温度0与实际手实践，将抽象的环境温度比较，验证牛顿冷却模型。

的数学知识具体化，体会数学与生活的联系。

同时，培养学生敢于质疑真理，懂得亲自实践验证的研究精神，这样我们的社会才能在不断地研究质疑中发展壮大。

引例解答：

四、回归实际，解决问题

回归引例：

两杯不同温度但其他1、

两小组将实验数据提交上来，观察数据，得出初始温度更高的热水一开始都相同的热水，在相同的变化更快；

时间范围内，如：3min后，2、

将数据用散点图展现，通过散点图观察发现其温度变化趋势符合牛顿冷却哪一杯温度变化大（降的模型；

更多）？6 min呢？温度3、

通过散点图可以发现，初始温度不同的热水在冷却过程中都是先快后慢。

变化与时间符合哪种数学

模型呢？

运用牛顿冷却模型解决生活问题：

1、在30℃的环境下，是80℃的水冷却到室温快，还是60℃的水冷却到室温快？

2、30℃的环境下，冰激凌（-5℃）要几分钟吃完才不会全部融化（融化温度7℃，k=0.21）？

3、将一杯85℃的牛奶与8℃的牛奶放入冰箱-10℃的冷冻室，谁更快结冰？

Mpemba效应：在低温环境中，热水比冷水结冰快。很多科学家也都实验证明这种现象。（我们由牛顿冷却模型可以计算出冷水比热水结冰快或是差不多，但现实中在低温环境中热水比冷水结冰快）

实验中的很多因素都会影响到水结冰所花的时间：

（1）蒸发——热水由于温度高蒸发会失去一部分水。

回归引例，前后呼应，让学生一开始的猜想得到验证，从心理上更易接受新知识。

其次，让学生认识到数学与生活息息相关，数学源自于生活又服务于生活。

最后，培养学生的数学建模能力，用数学知识解决实际生活中的问题。

1、利用牛顿冷却模型即可回答问题1；

五、拓展提升、深入研究在解决已有问题的基础上，2、利用牛顿冷却模型，函数与方程的思想，引发学生向更高的层次出发，而借助科学计算器解出时间t：

不只是仅局限于本节课的内容。

730(530)*e0.21t

与物理中的热学知识相联借助图像一目了然：

系，让学生体会学科之间的相互联系。

同时让学生知道当理论与实际相悖时要坚持“实践是检验真理的唯一标准”，培养学生的科学

研究素养，社会才能不断进步。

3、从辩证的角度看，许多学生认为，温度最后，让学高的牛奶要结冰，先要将温度冷却，这一生也体会到，生过程是温度低的牛奶不需要做的，从而认活中的现象有的为冷牛奶更容易结冰。

时候并不只是纯

由牛顿冷却模型也可以计算出在一定粹的用所学知识条件下冷牛奶与热牛奶结冰时间。

来解释，而是要4、学生可以课后利用本节课的学习研究过联系各个方面的程进行实验；

知识，体现学科5、通过网络、图书、教师与长辈等途径学

（2）溶解气体——温度习理论知识，用理论知识解释这些现象。

间的联系。

越高，水中溶解气体越少，大量的气体逃出水面时会带走一部分热量。

（3）对流——由于冷却，水会形成对流，水的表面比水底部分热;初始温度较高的水散热更快。

（4）周围的事物——初温较高的水可能会改变它周围的环境，从而影响冷却过程。

1、学习方式：理论学习与实验检验；

2、数学思想：数学建模思想及函数与方程思想；

3、团队合作精神与科学研究精神；

4、合理利用信息技术等资源解决数学问题。

据说有一次河南查案，早上6:30在公园发现一具流浪汉的尸体，柯南测得此时尸体的体温为18℃，到7:30am时，体温已降到16℃，若假设室外温度维持在10℃，且人体正常体温为37℃.很快，柯南就把死亡时间计算出来了。

请问：柯南是如何计算大致死亡时间的？

1、学生总结研究方法（不足教师补充）：

观察生活的现象——发现问题——提出问题——猜想——实验验证——回归生活

2、小组合作学习的重要性及不足；

3、信息技术工具及资源的运用。

小结实验方法，掌握研究的基本方法：实验检验和理论说明；并且利用本节课的学习研究过程将此方法推广。

六、归纳小结、巩固新知

七、教学反思

（一）本节课的亮点

1、主线突出，围绕主线完成教学

本节课围绕“观察生活的现象——发现问题——提出问题——猜想——实验验证——回归生活——学以致用”的设计思路展开教学，学习的内容是牛顿冷却模型，但重点是其研究方法，培养学生的数学建模能力。从猜想两杯热水的温度变化，引起学生的研究兴趣；

学生完成作业，自主学习，合作交流

七、课后作业、学以致用学生对名侦探柯南的动漫一直颇有兴趣，作为课后作业的布置巩固本节课内容的同时，也让学生知道数学的生活魅力。

再亲自动手实验验证所猜想结论，提高学习信心；最后学以致用，深刻了解数学在生活中的作用。

2、充分利用信息技术工具辅助教学

《普通高中数学课程标准》中强调注重信息技术与数学课程的整合。牛顿冷却模型是指数函数模型，其中有三个常量，两个变量，通过几何画板演示这些量对模型的影响，直观上理解牛顿冷却模型，学生更易于理解这些量对模型的影响，在后续的验证实验中才能确定验证目标。同时，在验证牛顿冷却模型时，借助科学计算器计算对数值简化计算量，让学生明白科学的力量。

3、情境创设有新意

本节课的引入教学是让学生对生活中常见的两杯热水降温的变化进行猜想，其有两个作用：一是调动学生的积极性，对所提问题进行思考猜想，让自己进入本节课的学习环境中，利于后面的学习；二是让学生明白科学源自于生活，只有多观察生活中的现象，结合所学的知识，不断的思考探究，我们的科学才会不断的进步。

（二）本节课的思考

1、自主合作学习的机会欠缺

高中的教学因内容多与难，大多都是教师讲，学生听，很少有时间给学生去探索，因此，本节课的教学，虽让学生合作探究牛顿冷却模型，但学生自主合作探究能力偏弱，在本节课的教学中，还是不能够放手让学生自主学习，教师还是处于主导地位。

建议：将本节课的学习作为学生的研究性学习活动，用一学期的时间完成本节课的内容，留给学生足够的探索机会，培养学生的科学素养。

2、关于数学建模能力的培养

数学建模能力体现在两方面：一是利用已知函数模型解决实际问题；二是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解决实际问题。本节课是验证牛顿冷却模型，但现实生活中，经常是需要通过自己去观察问题，才能发现问题，从而解决问题。从这个角度，对于本节课的教学还有另外一种思路可供参考：通过猜想两杯不同温度的热水的温度变化，引起思考其温度变化符合哪种数学模型？通过实验，记录数据，借助计算机作散点图，找出合适的函数模型，这种思路对学生更难，但是更符合科学的发现。

附：实验报告

实验报告

题目

指导教师与参加人员

牛顿的冷却函数模型探究

指导教师

姜恩珠

组长：杨光

组员：吴大隆、黄顺莲、邱斌辉、黄丹玉、周子琪、赖启航、李家俊

实验背景

1、本节实习作业前，已学习了很多函数模型，并对其在生活中的应用有一定的了解；

2、借助此实验，理解数学与生活、其他学科的联系；

3、运用数学建模思想解决问题。

实验方案

实验检验与理论说明

实验过程

一、实验验证牛顿冷却模型

1、小组成员讨论实验步骤，确定实验分工；（两人负责拿温度计、两人负责观察实验、两人负责计时，两人负责记录数据）。

2、实验地点：学校实验室（空间密闭，保证不通风，电风扇，门窗关闭，减少实验误差）。

3、准备实验器材：一杯250m l的50℃热水、温度计、计时器、隔热板、架子、纸、笔。

4、实验步骤：（1）测量室温；

（2）测量热水冷却到48℃、45℃、43℃所用时间；

（3）记录实验数据。

5、利用牛顿冷却模型，借助科学计算器求出热水冷却到48℃时k的值。

6、通过求出的k，利用科学计算器求出45℃、43℃对应的冷却时间t。

7、将上述计算出的冷却时间与实际的冷却时间比较，验证牛顿冷却模型。

8、实验结果：在一定的温度范围内，且在减少其他因素的影响下，物体温度的变化与时间符合牛顿冷却模型。

实验结果

1、在一定的温度范围内，且在减少其他因素的影响下，物体温度的变化与时间符合牛顿冷却模型；

2、牛顿冷却模型有一定的适用条件。

指导教师通过该实习作业，（1）学生掌握了利用实验检验的方法验证所学内容；

审核意见

（2）学会利用网络、图书、教师等资源寻求理论依据；

（3）学会利用计算机、科学计算等现代化工具解决问题；

（4）学会小组合作学习、动手实践能力。