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分离常数法和分离参数法的应用

夏胜华

教学目标：

1．能掌握分离常数法与分离参数法的一般步骤. 2．会运用分离常数法与分离参数法解决相应问题.

教学重、难点：

重点：分离常数法与分离参数法的理解. 难点：相应问题的转化并求解.

一、分离常数法：

分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有x2axbman，axbxcmsinxn

等.解题的关键是通过恒等变形，y，yyyx2cxdpaqpsinxqmxnxp从分式函数中分离出常数. 1.用分离常数法求分式函数的值域

例1 求函数f(x)3x1(x1)的值域. x2解 由已知有f(x)3[(x2)2]13(x2)77. 3x2x2x2x2由x1，得x21.∴110. ∴函数f(x)的值域为{yR|4y3}.

2.用分离常数法判断分式函数的单调性

xa例2 已知函数f(x)(ab)，判断函数f(x)的单调性. xb解 由已知有y(xb)ab1ab，xb. xbxb所以，当ab0时，函数f(x)在(,b)和(b,)上是减函数；当ab0时，函数f(x)在(,b)和(b,)上是增函数. 说明：①注意对ab正负的讨论；②注意单调区间的表示.

3.用分离常数法求分式函数的最值

2x7x10例3 设x1，求函数f(x)的最小值. x1解 ∵x1，∴x10. 由已知有

1

2[(x1)1]27[(x1)1]10(x1)5(x1)44[(x1)]5

f(x)x1x1x12(x1)44，即x1时，等号成立. 59.当且仅当x1x1x1∴当x1时，f(x)取得最小值9. 说明：本例注意基本不等式成立的条件.

二、分离参数法

分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题. 1.用分离参数法解决函数有零点问题

例4 已知函数g(x)x2ax4在[2,4]上有零点，求a的取值范围. 2解 ∵函数g(x)xax4在[2,4]上有零点，∴方程xax40在[2,4]上有2实根，即方程ax4在[2,4]上有实根. x4，则a的取值范围等于函数f(x)在[2,4]上的值域. x4(x2)(x2)又f(x)120在x[2,4]上恒成立，∴f(x)在[2,4]上是增函xx2令f(x)x数. ∴f(2)f(x)f(4)，即4f(x)5. ∴4a5.

2.用分离参数法解决函数单调性问题

2例5 已知f(x)2xax2a在[1,)上是单调递增函数，求a的取值范围. 2xaa解 ∵f(x)x，∴f(x)1a2. x2x2又f(x)在[1,)上是单调递增函数，∴f(x)0.于是可得不等式ax对于x1恒成立.∴a(x2)max. 由x1，得x1.∴a1.

3.用分离参数法解决不等式恒成立问题

例6 已知不等式mx2xm10对满足2m2的所有m都成立，求x的取

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值范围. 解 原不等式可化为(x21)m2x10，此不等式对2m2恒成立. 构造函数f(m)(x21)m2x1，2m2，其图像是一条线段. f(2)2(x21)2x102x22x30.解得1713. 根据题意有，即x22220f(2)2(x1)2x102x2x1

4.用分离参数法解决不等式有解问题

例7 如果关于x的不等式x3x42a10的解集不是空集，求参数a的取值范围. 解 原不等式可化为x3x42a1. ∵原不等式的解集不是空集，∴(x3x4)min2a1. 又x3x4(x3)(x4)1，当且仅当(x3)(x4)0时，等号成立，∴2a11，即a1.

三、课堂小结

1．用分离常数法与分离参数法解题步骤是什么？

2．分离常数法与分离参数法能解决哪些问题？

四、课后作业：

1.已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对于任意的x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是_______.

2.已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对于任意的x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为(

)

A．[2，＋∞)

B．[4，＋∞)

C．{4}

D．[2,4] 3.设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是__________.

五、教后反思：

分离常数法与分离参数法是高中数学中常见的两种方法，学生在运用这两种方法解题时容易混淆，本节课主要是对这两种方法作出总结，将用法进行分类，以便学生在解题过程中得以更好应用。通过课堂教学实践发现学生对这两种方法能达到理解运用程度，因此本节课能达到既定的教学目标。

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