习题3.1教学设计一等奖

博兴第二中学高二教学设计

设计人：从玉龙

第一讲

函数与方程思想

【学习目标】

1、会用函数方程思想解决求最值或参数的范围

2、会用函数方程思想解决图像交点或方程根等问题

1．函数与方程思想的含义

(1)函数的思想

函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等．

(2)方程的思想

方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．

2．函数思想与方程思想的联系

函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y＝f(x)的正(或负)区间，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．

角度一

求最值或参数的范围

[例1]

若a，b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________．

解析：(1)法一：(看成函数的值域) a＋3∵ab＝a＋b＋3，a≠1，∴b＝. a－1

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a＋3而b>0，∴>0. a－1即a>1或a<－3，又a>0，

∴a>1，故a－1>0. a＋3a－12＋5a－1＋4∴ab＝a·＝＝

a－1a－14(a－1)＋＋5≥9. a－14当且仅当a－1＝，即a＝3时取等号．

a－1∴ab的取值范围是[9，＋∞)．

法二：若设ab＝t，则a＋b＝t－3，

∴a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根．

Δ＝t－3－4t≥0，从而有a＋b＝t－3>0，ab＝t>0，t≤1或t≥9，即t>3，t>0，2

解得t≥9，即ab≥9. ∴ab的取值范围是[9，＋∞)．

法三：(看成不等式的解集) ∵a，b为正数，

∴a＋b≥2ab，又ab＝a＋b＋3，

∴ab≥2ab＋3. 即(ab)2－2ab－3≥0，

解得ab

≥3或ab≤－1(舍去)，

∴ab≥9.即ab的取值范围是[9，＋∞)．

角度二

解决图像交点或方程根等问题

例2、已知方程9x－2·3x＋(3k－1)＝0有两个实根，则实数k的取值范围为________．

解析：令3x＝t>0，则方程化为t2－2t＋(3k－1)＝0(t>0)(*)，要使原方程有两个实根，方程(*)必须有两个正根，

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Δ＝2－43k－1≥0，t2＝3k－1>0，∴t1·t1＋t2＝2>0，2

12解得

π0，上有解，则a的取

如果方程sin2x＋2sin x＋a＝0在2值范围为________．

应用函数与方程思想解决问题时应注意以下二个方面的思考和切入

(1)函数与不等式的相互转化．对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．

(2)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．

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