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专题研究---数列求和

一、教学目标、任务：

考点关注

考纲要求

考纲解读

1.熟练掌握等差数列、等比数

1.数列求和主要考查分组求和、列的前n项和公式。

数列求和

错位相减和裂项相消求和，特别

2.掌握非等差、等比数列求和

是错位相减出现的机率较高。

的几种常见方法。

2.题型以解答题为主。

二、教学过程：

题型一：

分组求和法

111例1：数列1，，2，，4，，…的前2n项和S2n＝____________. 248111111【解析】S2n＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋(＋＋＋…＋n)=2n－1＋1－n＝2n－n

248222探究1：分组求和法就是将数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。

111思考题1：求数列1,4，7，10，…的前n项的和。

248n1111221n(3n1)111

【解析】Sn14710(3n2)23n112222212n(3n1)122n11

n1思考题2：若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(1)n，则S16S33＝________. 【解析】S16＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＝－8. S33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝－16＋33＝17 ∴S16S33＝－8 ＋17＝9

1

题型二： 裂项相消法

111例2：求和Sn＝＋＋…＋

1×32×4n(n2)1111111111＝

1＋－

－【解析】

Sn＝

1－＋－＋…＋－324nn＋222n＋1n＋2232n3＝

42(n1)(n2)探究2：裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆成两项或多项，使这些拆开的项出现有规律的相互抵消，看有几项没有抵消掉，从而达到求和的目的。

常见的拆项公式有：

1111111－①＝－； ②n(nk)＝k

nn＋k；

n(n1)nn＋11111；

－③＝

(2n1)(2n1)22n－12n＋11111④＝ []；

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)111⑤＝n＋1－n； ⑥＝ (n＋k－n)．

kn＋n＋1n＋n＋k1思考题3：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{}anan＋1的前100项和为(

) 1009999101A.

B. C.

D.

101101100100【解析】

由S5＝5a3得a3＝3，又a5＝5，所以an＝n. ∴11anan＋1＝1111，

n(n1)nn11111111100∴＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝

a1a2a2a3a100a1011223100101101101题型三： 错位相减法

例3：已知数列{an}的前n项和为Sn，且ann2n,求Sn的值。

【解析】

∵Sn=12222323n2n ①

2 1

∴2Sn=122223324(n1)2nn2n1 ②

∴①—②得

-Sn=2222n2∴Sn=(n1)2n123nn12(12n)n2n12n1n2n12, = 122

探究3：(1)如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法。

(2)运用错位相减法求和，一般和式比较复杂，运算量较大，易会不易对，应特别细心，解题时若含参数，要注意分类讨论。

1思考题4：设正项等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S202＋S10＝0 (1)求{an}的通项； (2)求{nSn}的前n项和Tn；

111【解析】(1)an＝n，n＝1,2，… (2)∵{an}是首项a1＝，公比q＝的等比数22211(1n)2＝1－1，nSn＝n－n.,则数列{nSn}的前n项和

列，∴Sn＝212n2n1212nTn112Tn＝(1＋2＋…＋n)－(＋2＋…＋n)，① ＝(1＋2＋…＋n)－(2＋3＋…2222222＋n－1n＋n＋1)，②

22n11(1)nTn1111nn(n1)2＋①－②，得

＝(1＋2＋…＋n)－(＋2＋…＋n)＋n＋1＝－21222222412n2n＋1

1nn(n1)＋n－1＋n－2 2223 即Tn＝

题型四： 倒序相加法

122 0124x＋f ＋…＋f ，例4：设f(x)＝x，若S＝f 求S的值。

2 0132 0132 0134＋24x41－x2【解析】∵f(x)＝x，∴f(1－x)＝1－x＝，

4＋24＋22＋4x4x2∴ f(x)＋f(1－x)＝x＋＝1 4＋22＋4x122 012＋f＋…＋f，①

S＝f2 0132 0132 0132 0122 0111＋f＋…＋f，②

S＝f2 0132 0132 013①＋②得

12 01222 011＋f＋f＋f＋…＋

2S＝f2 0132 0132 0132 0132 01212012f＋f＝2012，∴S＝1006

2 0132 0132探究4：如果一个数列{an}，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

1思考题5：设f(x)＝x，

求f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)2＋2的值为________．

【解析】

∵6＋(－5)＝1，∴f(－5)，f(－4)，…，f(5)，f(6)共有12项，

由f(－5)、f(6)；f(－4)、f(5)；…；f(0)、f(1)共有6对，且该数列为等差数列，又f(0)＋f(1)＝112＋122＝112＋12(12)

＝212(12)＝12＝2，

2

4

∴ f(－5)＋f(－4)＋…＋f(6)＝6×三、规律方法：

2＝32 2非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思路：

（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过分组求和或错位相减来完成；

（2）不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和，需要将例题中的几类一般数列的求和方法记牢。

四、失误防范：

1、应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论。

2、在应用错位相减法时，一定要错位对齐，并注意观察未合并项的正负号。

3、在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项。

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