实习作业教学内容

第2课时

函数的最大值、最小值

学习目标

1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(难点).2.会借助单调性求最值(重点).3.掌握求二次函数在闭区间上的最值(重点)．

预习教材P30，完成下面问题：

知识点

函数的最大值与最小值

最大值

最小值

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有

条件

f(x)≤M 存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论

几何

意义

称M是函数y＝f(x)的最大值

称M是函数y＝f(x)的最小值

f(x)图象上最低点的纵坐标

f(x)≥M

f(x)图象上最高点的纵坐标

【预习评价】

(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数f(x)都有最大值和最小值．(

) (2)若存在实数m，使f(x)≥m，则m是函数f(x)的最小值．(

) (3)若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小值是f(a)，最大值是f(b)．(

) 提示

(1)×

反例：f(x)＝x既无最大值，也无最小值．

(2)×

若使m是f(x)的最小值，还需在f(x)的定义域内存在x0，使f(x0)＝m. (3)√

由于f(x)在区间[a，b]上是增函数，所以f(a)≤f(x)≤f(b)．故f(x)的最小值是f(a)，最大值是f(b)．

题型一

用图象法和函数的单调性求函数的最值

x，－1≤x≤1，【例1】

(1)已知函数f(x)＝1则f(x)的最大值、最小值分别为________，x，x>1.________. x(2)求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值．

x－1(1)解析

作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，

2

故f(x)的最大值为1，最小值为0. 答案

1

0 (2)解

任取2≤x1

x1x2则f(x1)＝，f(x2)＝，

x1－1x2－1x1－x2x2x1f(x2)－f(x1)＝－＝，

x2－1x1－1x2－1x1－1∵2≤x10，x1－1>0，

∴f(x2)－f(x1)<0，∴f(x2)

x∴f(x)＝在区间[2,5]上是单调减函数．

x－1∴f(x)max＝f(2)＝255＝2，f(x)min＝f(5)＝＝. 2－15－14规律方法1.图象法求最值的步骤

2．利用函数的单调性求最值的两个易错点

(1)求函数的最值时应首先求函数的定义域，在定义域内进行．

(2)求函数在闭区间上的最值，易出现的失误是不判断函数的单调性而直接将两端点值代入，认为是函数的最值．

1【训练1】

已知函数f(x)＝x＋. x(1)求证f(x)在[1，＋∞)上是增函数；

(2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值．

(1)证明

设1≤x1＜x2，

x1x2－111则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)·. x1x2x1x2∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，

∴x1x2－1＞0，

∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数．

(2)解

由(1)可知，f(x)在[1,4]上递增，

∴当x＝1时，

f(x)min＝f(1)＝2，

当x＝4时，

f(x)max＝f(4)＝17. 417综上所述，f(x)在[1,4]上的最大值是，最小值是2. 4题型二

函数最值的实际应用

【例2】

某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投1400x－2x20≤x≤400，入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．

80 000

x＞400.(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 解

(1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，

1－2x2＋300x－20 0000≤x≤400，从而f(x)＝

60 000－100xx＞400.1(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000；

2∴当x＝300时，f(x)max＝25 000，

当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，

f(x)＜60 000－100×400＜25 000. ∴当x＝300时

，f(x)max＝25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．

规律方法

求解实际问题的四个步骤

(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．

(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转化成函数问题．

(3)求解：选择合适的数学方法求解函数．

(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测．

特别提醒：求解实际问题的步骤也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤．

【训练2】

某水厂蓄水池有水450吨，水厂每小时向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为8020t吨．现在开始向池中注水并同时向居民供水，多少小时后蓄水池中水量最少？

解

设t小时后，池中水量为y吨，则

y＝450＋80t－8020t＝4(20t－10)2＋50，

当20t＝10，即t＝5时，ymin＝50，

所以5小时后蓄水池中水量最少，最少为50吨. 互动探究

题型三

二次函数的最值

【探究1】

(1)求函数y＝x2－2x＋2的单调区间．

(2)求函数y＝－x2－2x＋2的单调区间．

解

(1)函数y＝x2－2x＋2是开口向上，对称轴为x＝1的抛物线，

故其单减区间是(－∞，1)，单增区间是(1，＋∞)．

(2)函数y＝－x2－2x＋2的图象是开口向下，对称轴为x＝－1的抛物线，故其单减区间是(－1，＋∞)，单增区间是(－∞，－1)．

【探究2】

函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[－1,0]，[－1,2]，[2,3]上的最大值和最小值分别是什么？

解

函数f(x)＝x2－2x＋2的图象开口向上，对称轴为x＝1，

(1)因为f(x)在区间[－1,0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1,0]上的最大值为f(－1)＝5，最小值为f(0)＝2；

(2)因为f(x)在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，则f(x)在区间[－1,2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)＝5. (3)因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5. 【探究3】

已知函数f(x)＝x2－ax＋1，

(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；

(2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值．

a解

(1)因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝，

2所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，

a1当≤，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；

22a1当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1. 221(2)当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝. 2

1①当t≥时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；

211②当t＋1≤，即t≤－时，f(x)在上是减函数，

22∴f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；

11111t，上单调递减，在，t＋1上单调递增，

③当t<

含参数的二次函数最值问题的解法

解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值．

对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：

(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；

(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；

(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数．

通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论．

课堂达标

1．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为(

) A．3,5

B．－3,5

C．1,5

D．5，－3 解析

因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5. 答案

B 2．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为(

) A．[0,3]

B．[－1,0] D．[－1,3] C．[－1，＋∞)

解析

∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]，故选D．

答案

D 3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(

) A．2

B．－2

C．2或－2

D．0 解析

由题意a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2. 答案

C

4．函数f(x)＝6－x－3x在区间[2,4]上的最大值为________．

解析

∵6－x在区间[2,4]上是减函数，－3x在区间[2,4]上是减函数，∴函数f(x)＝6－x－3x在区间[2,4]上是减函数，∴f(x)max＝f(2)＝6－2－3×2＝－4. 答案

－4 x－x0≤x≤2，5．已知函数f(x)＝2求函数f(x)的最大值、最小值．

x>2，x－11解

作出f(x)的图象如图：由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝时，f(x)21取最小值为－. 42

1所以f(x)的最大值为2，最小值为－. 4课堂小结

1．函数的最值与值域、单调性之间的联系

(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最

1值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．

x(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得，即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．

2．二次函数在闭区间上的最值

探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．