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函数奇偶性的应用

教学内容分析：

函数的奇偶性是函数的一个很重要的性质，学生在学习了这部分内容后，虽然掌握了判断函数奇偶性的方法，但是利用函数的奇偶性解题时会出现易错点，因此有必要系统地来进一步研究其性质的应用。

教学目标：

知识目标：利用函数的奇偶性解题

能力目标：学会利用函数的性质解题，利用数形结合思想直观明了快速解题

情感、态度与价值观目标：培养学生正确利用函数性质解题，掌握重要题型的解法

学习者特征分析：

学生在学习和掌握了函数知识后，对函数的奇偶性有了初步认识，但是利用函数的奇偶性解题的有关学习，由于课本没有专门系统的研究，所以对于学生来说是有障碍的。因此学习起来有一定的难度，但是通过本节课的教学，会使学生逐步掌握利用性质解决有关问题。

教学策略选择与设计：

教师创设情境启发、引导，学生自主探究、思考、讨论、交流学习成果。

新课程注重学生的主动学习，发挥学生的主体作用，因此，本课在教学的设计上将充分发挥学生的主观能动性，并与图形相结合，通过自己的探索加上教师的引导，让学生分类，从中体会到探究的乐趣、知识的魅力、应用的价值，开阔学生的视野，锻炼学生的思维。

教学重点及难点：

重点：

函数的奇偶性应用

难点：利用函数的奇偶性求函数的解析式

教具准备： 多媒体课件

教学过程：

一、

复习回顾

函数奇偶性的定义？

偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

结论：（1）一个函数是奇函数或者偶函数，其定义域关于原点对称；如果一个函数的定义域关于原点不对称，那么它是非奇非偶函数。

（2）若奇函数f(x)在x0处有定义，则必有f(0)0 （3）奇函数的图象关于坐标原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立。

（4）奇函数在关于坐标原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于坐标原点对称的区间上的单调性相反。

（对于函数的奇偶性，涉及到求值，利用奇偶性求解析式，图象的应用等问题，如何解决呢？本节课我们就来探究这几个问题）

二、

应用举例

【类型一】正确把握定义

例1

已知f(x)ax2bx是定义在[a1,2a]上的偶函数，那么ab（

B

）

A.

1111

B.

C.

D.



33221

3解：

依题意区间[a1,2a]是关于原点对称的，则(a1)2a0

所以a22又函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，即axbxaxbx对定义区间上的任意x恒成立，所以b0。所以ab

【类型二】求函数解析式

13

例2

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)xx，则函数f(x)

2的解析式是

解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0

当x0时，x0，所以f(x)(x)(x)xx

又f(x)f(x)，所以f(x)f(x)xx

222x2x,x0综上可得

f(x)0,x0

x2x,x0【类型三】有关求值

例3

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x3x2，

则f(2)

思考：

你会选择怎样的方法来解答？

解：方法一：由题设可知，对任意xR，有f(x)f(x)，即f(x)f(x)

所以f(2)f(2)12

方法二：当x0时，x0，则f(x)2(x)3(x)22x3x2

又f(x)f(x)，所以f(x)f(x)2x3x2，

即当x0时，f(x)2x3x2，所以

f(2)1

2（学生讨论，板演，教师点评，纠正其规范性）

【类型四】图象应用

例4

若定义在R上的奇函数f(x)在(0,)上为增函数，且f()0

则满足f(x)0的x的集合为

。

解：数形结合解决问题。通过作出简图，

结合图形得到结果。

依题意f(0)0，f()0且

1212f(x)在(,0)上也为增函数

所以满足f(x)0的x的集合为

11x|x0或x22

三、

课堂练习

已知yf(x)是奇函数，当x0时，f(x)xax，且f(3)6，则a的值为（

）

A.

5

B. 1

C.

1

D.

3

解：因为yf(x)是奇函数，且f(3)6，所以f(3)6，

则93a6，解得a5，

选（A）

思考：你还有其他解法吗？（求得当x0时的解析式，再利用题设条件得方程）

2

当x0时，x0，则f(x)x2ax

，又

f(x)f(x)

所以f(x)f(x)x2ax

，即

当x0时，f(x)x2ax

由f(3)6得93a6，

解得a5，

选（A）

四、课堂小结

通过本节课的学习，你有怎样的收获？（提问学生）

通过学习，了解了函数的奇偶性及其应用，掌握了常见题型的解法。

五、

作业布置

已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，

且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)（

）

A.

3

B. 1

C.

1

D.

3

（分析：利用函数的奇偶性解决）

选（C）

六、板书设计

课题：函数奇偶性的应用

【类型一】正确把握定义

例1 【类型二】求函数解析式

例2 【类型三】有关求值

例3 【类型四】图象应用

例4

课堂练习

七、课后反思

函数奇偶性的学习是高中数学中的一个难点，学生不太容易理解和掌握，所以必须要系统的进行探究，通过典型例题的讲解，从而突破这一难点。

通过教学发现，学生基本掌握了函数奇偶性的有关知识，并能够对常见题型进行解答，收到了很好的效果。