习题1.2教学设计模板

2.2 函数的表示法（一）－求解析式教学设计

教学目的：1.掌握求函数解析式的几种常见方法. 教学重点: 求函数解析式的方法.

教学难点: 求复合函数的解析式. 教学过程: 一、复习引入 1、常用的函数的表示方法有哪些？（解析法、列表法、图象法.）

2、什么叫函数解析式？（把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式. 3、函数解析式有什么优点？（函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值）. 函数解析式只表示一种对应关系，与所取的字母无关，如yx22x3与ut22t3是同一个函数.本节将通过具体例子来说明求函数解析式的几种常用方法. 二、讲解新课 求函数解析式的常用方法有：

1、待定系数法

例1、（1）已知二次函数f(x)满足f(1)1，f(1)5，图象过原点，求f(x)；

（2）已知二次函数f(x)，其图象的顶点是(1,2)，且经过原点，f(x)．

解：（1）由题意设

f(x)ax2bxc，

∵f(1)1，f(1)5，且图象过原点，

abc1a3 ∴abc5 ∴b2

c0c0∴f(x)3x22x．

（2）由题意设

f(x)a(x1)22，

又∵图象经过原点，

∴f(0)0，∴a20 得a2，

∴f(x)2x24x．

说明：（1）已知函数类型，求函数解析式，常用“待定系数法”；

（2）基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式或两根式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。

2、代入法

例2、根据已知条件，求函数表达式．

（1）已知f(x)x24x3，求f(x1)．

（2）已知f(x)3x21，g(x)2x1，求f[g(x)]和g[f(x)]. 解：（1）∵f(x)x24x3

∴f(x1)(x1)24(x1)3x22x．

（2）∵f(x)3x21，g(x)2x1

∴f[g(x)]3[g(x)]213(2x1)2112x212x4

∴g[f(x)]2[f(x)]12(3x21)16x21

说明：已知f(x)求f[g(x)]，常用“代入法”. 基本方法：将函数f(x)中的x用g(x)来代替，化简得函数表达式．

3、配凑法与换元法：

例3、（1）已知f(x1)x22x，求f(x). （2）已知f(x1)x2x，求f(x1)．

解：（1）法一配凑法：

∵f(x1)(x1)22x12x(x1)24x1(x1)24(x1)3

∴ f(x)x24x3．

法二换元法：

令x1t，则xt1，

f(t)(t1)22(t1)t24t3

∴

f(x)x24x3．

（2）设ux11，则x=u1，x(u1)2

于是f(u)(u1)22(u1)u21(u1)

∴f(x)x21(x1)

∴f(x1)(x1)21x22x(x11)

即f(x1)x22x(x0). 说明：已知f[g(x)]求f(x)的解析式，常用配凑法、换元法；换元时，如果中间量涉及到定义域的问题，必须要确定中间量的取值范围．

4、构造方程法

1例3、已知f(x)满足2f(x)f()3x，求f(x). x

1解：∵2f(x)f()3x --------①

x将①中x换成1得

x112f()f(x)3() -------②

xx①×2-②得

3f(x)6x1

x3

x∴f(x)2x1说明：已知f(x)与f(x)，或f(x)与f()之间的关系式，求f(x)的解析式，可通x1过“互换”关系构造方程的方法，消去f(x)或f()，解出f(x). x三、课堂练习：

⑴若f(1/x)=1/(1+x),则f(x)= ；

⑵已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x，则f(x)= ；

⑶已知g(x)=1-2x，f[g(x)]=(1-x2)/x2(x0),则f(1/2)= ；

(4)已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p，f(3)=q，则f(36)= . 解：⑴令u=1/x，则x=1/u，f(u)=u/(1+u)，∴f(x)=x/(1+x)；

⑵设f(x)=ax2+bx+c(a0)，∵f(0)=1,∴c=1，又f(x+1)-f(x)=2x，

∴a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-ba-1=2x，即2ax+a+b=2x，比较系数得2a=2且a+b=0，∴a=1，b=-1，∴f(x)=x2-x+1. ⑶由g(x)=1-2x=1/2，得x=1/4，∴f(1/2)=[1-(1/4)2]/(1/4)2=15. ⑹f(36)=f(6×6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(2×3)=2[f(2)+f(3)]=2(p+q). 四、小

结

1、函数解析式是函数与自变量之间的一种对应关系，与所取的字母无关. 2、求函数解析式的方法一般有待定系数法、代入法、换元法和构造方程法等. 3、实际操作中要学会灵活应用这些方法. 五、布置作业

⒈填空：

⑴若f(x)=2x+1，则f[f(2)]=

；f(-x)=

；f[f(x)]=

.⑵若f(x+1)=x2-2x+5，则f(x)=

. ⑶若f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x)，则g(x)=

. ⑷若3f(x)+2f(1/x)=4x，则f(x)=

. ⑸若f(x)=x2-mx+n，f(n)=m，f(1)=-1，则f(-5)=

. 2、已知函数f(x)=4x+3，g(x)=x2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]. 答案与提示：

⒈⑴f[f(2)]=f(5)=11,f(-x)=-2x+1,f[f(x)]=2f(x)+1=4x+3；

⑵f(x)=x2-4x+8；

⑶g(x)=2x-1；

⑷f(x)=(12x2-8)/5x(x0)；

⑸将f(n)=m与f(1)=-1并成方程组，解得m=1,n=-1,可知f(x)=x2-x-1 ∴f(-5)=29. 2、 f[f(x)]=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15；

f[g(x)]=4g(x)+3=4x2+3；

g[f(x)]=[f(x)]2=(4x+3)2=16x2+24x+9；

g[g(x)]=[g(x)]2=(x2)2=x4.

六、板书设计（略）