习题1.2教案和学案内容

《函数的表示法》教学设计

中山市杨仙逸中学 隋志微

一、教材分析

本节课是人教版高中数学必修1第一章《集合与函数概念》中1.2.2函数的表示法，学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，而且是加深理解函数概念，丰富对函数的认识的过程，对提升学生数学抽象与数学运算的数学素养很有帮助。特别是在信息技术环境下，可以使函数在数与形两方面的结合上得到更充分的体现，更有益于提升学生直观想象的数学素养。

学生在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图像法，因此教材通过运用三种表示法表示一个函数后，让学生了解三种表示法的各自优缺点，目的在于使学生面对实际情境时，会根据不同的需要选择恰当方法（解析法、图像法、列表法）表示函数。教材中还介绍了分段函数，在实际问题中，有很多函数是用分段函数来表示的，所以讨论分段函数是很有必要的，在教学中结合教材内容向学生渗透分类讨论思想方法，对培养学生全面分析问题，解决问题的能力是很有帮助的。根据实际问题中的条件列出函数解析式的训练，是建立函数模型研究实际问题的关键步骤，这种应用意识的培养和应用能力的提高应不断贯穿于教学过程中。基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而使得学习函数的表示也是向学生渗透数形结合思想的重要过程。

二、学情分析

学生为普通高中高一学生，学生在初中已经了解了函数的三种表示法，并在实际生活中积累了一定的关于函数关系的实例，会用函数的三种表示法表示一些简单的函数，但对三种表示法的优缺点与深入运用还有一定的欠缺。

三、教学目标：

1.

掌握函数的解析法、列表法、图像法三种主要表示方法及其优缺点。

2.

在实际情境中，能根据不同的需要，选择恰当方法表示函数。

3.

了解分段函数及其简单应用。

1

四、教学重难点：

重点：1.函数的三种表示法及其特点；

2.分段函数的概念及其应用。

难点：1.选择恰当的方法表示函数；

2.分段函数的表示及图象。

五、教学过程

（一）复习回顾

问题1：函数的概念是什么？

设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f:AB为从集合A到集合B的一个函数.记作yfx,xA.

问题2：函数的三要素是什么？

定义域、值域、对应关系。

问题3：初中时学习过哪些表示函数的方法？

解析法、列表法、图象法。

【设计意图】

从集合与对应的角度，学生对函数的概念有了新的认识，通过具体例子，复习已学过的知识，不仅加深对知识的记忆，同时为后续函数表示法的学习做铺垫。

（二）新知讲解

数学的发展历程 函数表示法的衍生

17世纪莱布尼兹提出函数概念 数学表达式 解析法

法国数学家笛卡尔 引入平面直角坐标系 画图象

（列表） 列表法 图象法

2

定义：

（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 举例：fxxfxx2fx1xfxx2x

（2）列表法：用表格表示两个变量之间的对应关系. 举例：

x f(x) -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 （3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 举例：

4321–4–3–2–1yO–1–2–3–41234xfx = 1x

【设计意图】

学生在初中已经了解函数表达法的基础上，本课联系函数与数学的发展历程出发认识函数的表达法的发展历程，加深对表达法的理解与记忆。

（三）例题讲解

例题1：某种笔记本每个5元，买x(x∈{1，2，3，4})个笔记本的钱数记为y（元）.试用函数的三种表示法表示函数. 解：函数的定义域为数集1,2,3,4

2,3,4

解析法：函数的解析式为y5x,x1,列表法：

x f(x) 图象法：

1 5 2 10

3 15 4 20 3

学生对比三种表示法，分析三种表示法的优缺点：

优点：关系清楚，容易求函数值.

解析法

缺点：不够形象，具体，并不是所有函数都有解析式.

优点：不必通过计算就可直接看出与自变量的值相对应的函数值.

列表法

缺点：只能表示自变量较少的有限值的对应关系.

优点：能直观形象地表示出函数的变化情况.

图象法

缺点：只能近似的求出自变量所对应的函数值. 【设计意图】

通过运用三种表示法同时表示一个函数，让学生体会每种表示法的优缺点，进而表明，对于具体函数问题需要具体分析，选择恰当的表示法。同时认识由一些离散的点所构成的函数图象,表明函数图像有直线、曲线、折线、离散的点等多种形式。

例题2：画出函数yx的图象. 解：由绝对值的概念得：当x0时，y当x0时，yx.

因此，yx.

x,x0,x,x0.

分段函数概念：有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，4

这样的函数通常称为分段函数. 通过利用几何画板演示分段函数yx的画法，得出图象.特别注意需要标为空心的位置。

【设计意图】

了解分段函数以及分段函数解析式的写法，通过动态演示，了解分段函数图象的画法，建立数与形的联系，提升数形结合的能力。

x21,x0,例题3：画出函数y的图象. x1,3x0.利用几何画板再次演示此分段函数图象的画法，同时看图象讲解几点注意：

1.分段函数的定义域是各段定义域的并集. 2.分段函数的值域是各段值域的并集. 3.分段函数的表达式虽然不止一个，但它不是几个函数，而是一个函数. 【设计意图】

加深了解分段函数图象的画法，同时根据图象，进一步了解分段函数以及它的定义域与值域。

例题4：某共享电动车的收费标准如下：

（1）骑行的前两分钟免费；

（2）骑行20分以内收费2元；

（3）骑行超出20分钟之后的时间按照1元/10分钟计算，不足10分钟也按10分钟计算. 试写出骑行40分钟以内时间与费用的函数解析式，并画出函数图象. 解：设费用为y，时间为x，则根据题意，自变量x的取值范围是0,40. 0,0x2,2x20,2,

y20x30,3,30x40.4,图象：

5

【设计意图】

数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是应用数学解决实际问题的基本手段，在本题中，学生同时运用解析法和图象法表示该实际问题，是让学生有意识地用数学语言表达现实世界，感悟数学与现实之间的关联的一种方式。

（四）巩固练习

练习1：画出函数yx2的图象. 解:

x2,x2,y

x2,x2.【设计意图】

学生模仿例题，自己动手练习画分段函数的图象，感受分段函数解析式的写法以及图象的画法。

练习2：函数r=f(p)的图象如图所示， （1）定义域是什么？

（2）值域是什么？ （3）r取何值时，只有唯一的p值域它对应？

02,6 . 解：（1）定义域为：5,. （2）值域为：0,6



（3）r0,25,

【设计意图】

通过观察函数图象，练习求分段函数的定义域和值域，同时练习会看函数图象所蕴含的深层含义。

x2,x1,练习3：已知函数y，求f2,f2,ff2的值。

66,x1.xx解：f22661

2f2224

ff2f44616

42【设计意图】

本题主要练习分段函数的求值，体会自变量取不同范围时，其所对应的函数表达式不同，学生在明晰运算对象的基础上，根据运算法则解决该问题，进一步发展数学运算的能力。

练习4：已知fx为一次函数，且ffx9xxkxbk0. 4，求fx的解析式。

解：设一次函数为f则ffxfkxbkkxbbk2xk1b9x4

k29所以k1b4所以k3b1或k3b2

因此一次函数解析式为fx3x1或fx3x2. 【设计意图】

该练习为求函数解析式的题目，而且已知条件比较抽象，但学生可以从熟悉的一次函数入手，体会求函数表达式的过程与方法，培养学生把握事物本质，运用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。

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（五）课堂小结

1、函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法

2、函数的三种表示法的优缺点. 3、分段函数概念，表示及分段函数的应用.

（六）课后作业

教材P24习题1.2第7,8题．

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