实习作业优秀教学设计内容

专题练习(立体几何)

1．如图，在正方体

ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1

的中点．求证：

(1)直线BC1

∥平面EFPQ；

(2)直线AC1⊥平面

PQMN.

1

2．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝2，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，是棱PA的中点．

(1)求证：PC∥平面EBD；

(2)求三棱锥P-EBD的体积．

2 E

3．(2015·贵州八校联盟)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，四边形ACC1A1是矩形，CC1＝2BC＝2，∠BCC1＝120°，M，N分别为AC，B1C1的中点．

(1)求证：MN∥平面ABB1A1；

(2)求点M到平面A1BC1的距离d.

3

4．(2014·广东高考)如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图4(2)折叠，折痕EF∥DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF. (1)证明：CF⊥平面MDF；

(2)求三棱锥M-CDE的体积．

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5．(2015·文登模拟)如图所示，已知在四棱锥P-ABCD中，1CD∥AB，AD⊥AB，BC⊥PC，且AD＝DC＝PA＝2AB＝a. (1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD, 并说明理由；

(3)若点M是由(2)中确定的，且PA⊥AB，求四面体MPAC的体积．

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6．(2015·湖北模拟)如图，AB为圆O的直径，E是圆O上不同于A，B的动点，四边形ABCD为矩形，且AB＝2，AD＝1，平面ABCD⊥平面ABE. (1)求证：BE⊥平面DAE；

︵(2)当点E在AB的什么位置时，四棱锥E-ABCD的体积3为. 3

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7．(2012·石家庄模拟)如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，EC⊥平面ABCD，FA⊥平面ABCD，G为BF的中点，若EG∥平面ABCD. (1)求证：EG⊥平面ABF；

(2)若AF＝AB＝2，求多面体ABCDEF的体积．

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8. 如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，AD＝3，EF＝2，BE＝3，CF＝4. (1)求证：平面ADFE⊥平面DCE；

(2)当AB的长为何值时，四面体D—CEF的体积为6.

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【详解答案】

1．证明：(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，

因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.

而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.

(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥BD. 由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.

又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.

而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.

连接B1D1，因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，

所以MN∥B1D1，故MN∥BD，从而MN⊥AC1.

同理可证PN⊥AC1.

又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.

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2．解：(1)证明：在矩形ABCD中，连接AC，设AC，BD交点为O，连接EO，则O是AC中点．

又E是PA中点，

所以EO是△PAC的中位线，

所以PC∥EO.

又EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，

所以PC∥平面EBD.

(2)取AB中点H，连接PH，

则由PA＝PB，得PH⊥AB.

又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，

∴PH⊥平面ABCD.

取AH中点F，连接EF，

1由E是PA中点，得EF∥PH，EF＝2PH，

∴EF⊥平面ABCD.

11∴VP­EBD＝VP­ABD－VE­ABD＝3S△ABD·PH－3S△ABD·EF，由题3意可求得S△ABD＝2，PH＝3，EF＝2，

1136则VP­EBD＝3×2×3－3×2×2＝6.

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3．解：(1)证明：取A1B1中点E，连接AE，NE，在△A1B1C11中，NE是中位线，所以NE∥A1C1，NE＝2A1C1，

又AC∥A1C1，M是AC中点，所以AM綊NE，

所以四边形AMNE是平行四边形，所以MN∥AE，

又AE⊂平面ABB1A1，MN⊄平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1.

(2)由AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1BC1，知AC∥平面A1BC1，点M到平面A1BC1的距离即为点C到平面A1BC1的距离，在△BC1C中，过点C作CF⊥BC1交BC1于F，因为平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，交线为CC1，A1C1⊥CC1，A1C1⊂平面ACC1A1，所以A1C1⊥平面BB1C1C，又CF⊂平面BB1C1C，∴CF⊥A1C1，A1C1∩BC1＝C1，所以CF⊥平面A1BC1，

由余弦定理：

BC1＝BC2＋CC2CC1cos∠BCC1＝7 ，

1－2BC·1121BC·CCsin∠BCC＝BC·CF，代入数据，得CF＝112217，21所以点M到平面A1BC1的距离d＝7.

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4.解：(1)证明：如图，因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

所以PD⊥

AD.

又因为ABCD是矩形，CD⊥AD，PD与CD交于点D，

所以AD⊥平面PCD.又CF⊂平面PCD，

所以AD⊥CF，即MD⊥CF.

又MF⊥CF，MD∩MF＝M，

所以CF⊥平面DMF.

(2)因为PD⊥DC，BC＝2，CD＝1，∠PCD＝60°，

所以PD＝3，由(1)知FD⊥CF，

11在直角三角形DCF中，CF＝2CD＝2.

133过点F作FG⊥CD，得FG＝FC·sin 60°＝2×2＝4，

3333所以DE＝FG＝4，故ME＝PE＝3－4＝4，

333622所以MD＝ME－DE＝44＝2.

221133S△CDE＝2DE·DC＝2×4×1＝8.

11632故VM­CDE＝3MD·S△CDE＝3×2×8＝16.

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5．解：(1)证明：连接AC，过C作CE⊥AB，垂足为E，

又在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，AD＝DC，∴四边形ADCE是正方形．

∴∠ACD＝∠ACE＝45°.

1又∵AE＝CD＝2AB，∴BE＝AE＝CE，

∴∠BCE＝45°，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.

又∵BC⊥PC，AC∩PC＝C，∴BC⊥平面PAC. (2)当M为PB中点时，CM∥平面PAD.

证明：取AP中点为F，连接CM，FM，DF，则FM∥AB，1且FM＝2AB，

1∵CD∥AB，CD＝2AB，∴FM∥CD，FM＝CD.

∴四边形CDFM为平行四边形，∴CM∥DF.

∵DF⊂平面PAD，CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.

(3)由(1)知，BC⊥平面PAC，M为PB中点，所以点M到平11面PAC的距离等于2BC，VM­PAC＝2VB­PAC.

在△BPA中，∵PA⊥AB，∴PB＝5a，所以在△BCP中，PC＝3a.

在△PAC中，PC＝3a，AC＝2a，PA＝a，

122∴△PAC是直角三角形，S△PAC＝2a·2a＝2a.

1112a213VM­PAC＝2VB­PAC＝6·BC·S△PAC＝6·2a·2＝6a.

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6．解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以DA⊥AB，

又平面ABCD⊥平面ABE，且平面ABCD∩平面ABE＝AB，

所以DA⊥平面ABE，

又BE⊂平面ABE，所以DA⊥BE.

又因为AB为圆O的直径，E是圆O上不同于A，B的动点，所以AE⊥BE.

因为DA∩AE＝A，所以BE⊥平面DAE.

(2)因为平面ABCD⊥平面ABE，过点E作EH⊥AB交AB于0点H，则EH⊥平面ABCD.在Rt△BAE中，记∠BAE＝α

，2因为AB＝2，所以AE＝2cos α，

HE＝AE·sin α＝2cos αsin α＝sin 2α，

112所以VE­ABCD＝3S四边形ABCD×HE＝3×2×1×sin 2α＝3sin 2α.

3233由已知VE­ABCD＝3，所以3sin 2α＝3，即sin 2α＝2.

πππ2ππ因为0<α<2，所以2α＝3，即α＝6或2α＝3，即α＝3.

ππ︵于是点E在AB上满足∠EAB＝6或∠EAB＝3时，四棱锥3E-ABCD的体积为3.

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7．(1)证明

取AB的中点M，连接GM，MC，

又G为BF的中点，∴GM∥FA. ∵EC⊥平面ABCD，FA⊥平面ABCD，

∴EC∥FA，

∴EC∥GM. ∵平面CEGM∩平面ABCD＝CM，

EG∥平面ABCD，∴EG∥CM. 连接AC，在正三角形ABC中，CM⊥AB，又FA⊥CM，

∴EG⊥AB，EG⊥FA，

又∵AB∩FA＝A，∴EG⊥平面ABF.

(2)解

由(1)知EC∥GM，GE∥CM，

∴四边形CEGM为平行四边形，

1∴CE＝GM＝2AF＝1. 依题意可得四棱锥B—ACEF与D—ACEF的体积相等，则多面体ABCDEF的体积V＝VB—ACEF＋VD—ACEF

111＝3S四边形ACEF·BD＝3×2×(1＋2)×2×23＝23.

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8．(1)证明

∵BC⊥CF，BE∥CF，

∴BC⊥BE，又BC＝AD＝3，BE＝3，

∴在△BCE中，EC＝23，

∵在△FCE中，CF2＝EF2＋CE2，

∴EF⊥CE，

由题意知，DC⊥平面EFCB，∴DC⊥EF，

又DC∩EC＝C，∴EF⊥平面DCE，

∵EF⊂平面ADFE，

∴平面ADFE⊥平面DCE.

(2)解

由(1)可知Rt△CEF的面积为

1S△CEF＝2×2×23＝23，

所以四面体D—CEF的体积

1VD—CEF＝3S△CEF×CD

1＝3×23×CD＝6，

所以AB＝CD＝33，

所以当AB＝33时，四面体D—CEF的体积为6.

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