阅读与思考 集合中元素的个数教学实录

2.3.2平面与平面垂直的判定的教学设计

一、教材地位和作用

新课程中立体几何的内容更加注重定义、定理的产生和联系，从而形成完整的知识结构体系。而平面与平面的垂直是两个平面的一种重要的位置关系，是继教材直线与直线的垂直、直线与平面的垂直之后的迁移与拓展。因此这一节的学习对理顺学生的知识架构体系、提高学生的綜合能力起着十分重要的作用。

二、教学目标

1、知识目标

（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念。

（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。

2、能力目标

（1）借助对图片、实例的观察、类比、抽象、概括二面角的概念，面面垂直的定义，渗透类比迁移的思想。

（2）通过直观感知、操作确认，归纳出二面角平面角的定义，平面与平面垂直的判定定理，提高学生的抽象概括能力。

（3）通过运用定理的过程，培养学生降低空间维数的化归与转化的数学思想。

3、情感目标

（1）让学生亲身经历数学研究的全过程，体验探索的乐趣。

（2）通过有趣的、贴近学生生活的数学活动，使学生体会数学存在于现实生活周围，从中激发学生积极思维，增强学习数学的兴趣。

三、教学重点、难点

重点：（1）二面角及其平面角概念的形成过程；

（2）面面垂直的判定定理的运用。

难点：

二面角的平面角的形成过程及寻找方法。

四、学法与教学用具

学法：实物观察，直观感知，操作确认，类比归纳，语言表达。

教学用具：二面角模型，折叠纸，多媒体软硬件设备等。

五、教学基本流程(总体设计)

1

从人类生产实践的需要引入二面角的有关概念

↓

构建二面角的的平面角概念

↓

探究平面与平面垂直的判定方法

↓

平面与平面垂直的判定定理的应用

↓

课堂检测

↓

课堂小结

↓

布置作业

六、教学情境设计

（一）创设情景

问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？

问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？

以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：直线与直线相交成一定的角，直线与平面也相交成一定的角，那么平面与平面相交是否也成一定角？下面我们共同来观察,研探。

（二）建构理论

1、二面角的引入和构建

通过多媒体请同学们观察图片，发射人造卫星时要根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度；修筑水坝时为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度；建造房屋时墙面，地面，屋顶也会成一定的角度。

问题3：这样的角有何特点呢？

设计意图：从实际背景出发，增加学生对二面角的感性认识.让学生感受生活中处处有数学,数学用途广泛,增强学数学的兴趣. 问题4:类比初中所学角的概念，能否归纳出二面角的概念？

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 教师通过折叠一张纸给学生演示二面角

设计意图：概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，对已有知识的类比模仿,设置学生的最近思维发展区，不将书中的定义生硬地教给学生，而是通过自制模具的演示，采用类比的思想将二面角的概念移植过来。

2

问题5：能否举出实际生活中一些二面角的例子？

问题6：如何表示二面角？

设计意图：让学生在此基础上再举一些二面角角的例子.如教室的门在打开的过程中与墙面成一定的角度；书本翻开的过程中，两张纸面呈一定的角度等. 以知识填空的形式呈现，使学生了解二面角的数学符号表述。

2、二面角的度量

问题1：我们常说“把门开得大些”，是指哪个角大些，我们应该怎样刻画二面角的大小？（回想:异面直线所成的角、直线和平面所成的角有什么共同的特征？）

引导学生动手操作------翻开教科书成二面角形状,观察书页底部边沿所成的平面角随着翻动幅度的改变(二面角)而改变的情况。

引导学生进分析书页底部边沿所成的平面角的特点：

①平面角的顶点在棱上；

②平面角的两边分别在二面角的两个平面内；

③两边分别垂直于棱。

问题2：如果平面角的两边不垂直于棱行吗？

设计意图：引导学生用“平面化”的思想来思考问题. 捕捉创造适宜于学生领悟的问题情境，让学生动手操作，直观感受数学活动形象而生动的特点，生成知识。

问题3:根据平面角的特点与作法,你能归纳出二面角的平面角的概念吗? 在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。

β

A

α

O

B

问题4:对于确定的二面角而言,满足上述特点的平面角有多少个?请在二面角模型上任意作两个平面角, 平面角的大小与顶点在棱上的位置有无关系? 归纳:①二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关。

②二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。

③二面角的取值范围为[0°,180°] ④平面角是直角的二面角叫做直二面角。

设计意图：提高学生数学表达、归纳能力。让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深化。

例1：在正方体ABCDA1B1C1D1中

D1

C1

A1

B1

3

(1)求二面角D1ABD的大小

(2)求二面角A1ABD的大小

思维方法：

（1）找出或作出二面角的平面角

（2）证明其符合定义（垂直于棱）

（3）计算

设计意图:

通过例1加强学生对二面角的平面角的理解并归纳出求二面角的方法。

A

B

3、探究平面与平面垂直的判定定理

问题1：教室的相邻两面墙与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及度数？

问题2：类比线线垂直的定义，如何用二面角的平面角的大小给面面垂直下一个定义？引导学生归纳面面垂直的定义。

两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直. 设计意图：采用类比迁移的思想归纳面面垂直的定义，提高学生的抽象概括能力和知识迁移能力。

问题3：在工程建设中，建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直，即若紧贴墙面的铅锤的线，如垂直地面，则确定墙面与地面垂直，否则不垂直。紧贴墙面的线？这句话的实质意义是什么？（学生讨论，期望回答：即此线在墙所在平面）

由此实际问题如何抽象为数学问题呢？（学生交流讨论，期望回答：若平面过另一平面的垂线，则平面垂直）

引导学生，画出图形。并转化成数学符号语言

AB且AB则

归纳生成两个平面垂直的判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

设计意图：教师站在稍稍超前于学生智力发展的边界上通过问题引领，来促成学生形成面面垂直的判定定理。通过学生交流讨论，把实际问题抽象成数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达方式。

问题4：演示开门、关门的过程：门与地面始终垂直吗？为什么？将课本打开，直立放在桌面上，每页纸张与桌面是否垂直？为什么？（用判定定理解释）

问题5：判定面面垂直的本质和关键是什么？

设计意图：用判定定理解释生活中的常见现象，让学生意识到数学来源于生活，服务于生活，也体现了从特殊到一般再到特殊的知识认知过程。

促进学生数学思想方法的形成，引导学生确实掌握"降维"的转化与化归的数学思想方法。

4、平面与平面垂直的判定定理的应用

4

例2:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC

证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，

PA⊥α，BC在α内，

所以，PA⊥BC，

因为，点C是不同于A，B的任意一点，AB为⊙O的直径，

所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA 又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条相交直线，

所以，BC⊥平面PAC，

又因为BC在平面PBC内，

所以，平面PAC⊥平面PBC。

设计意图：通过例2加强学生对面面垂直的判定定理的理解，从而进一步体会垂直关系的相互转化。虽然多媒体的使用方便快捷，但不能完全代替板书，因此教师一定要对证明过程进行规范、完整的板书，引导学生注意证明过程的规范性和严谨性，帮助学生养成良好的学习习惯。

（三）检测反馈

检测一：

1、正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ABC1D1与正方体的各个面所成二面角的大小分别是多少？（学生自己根据题意画图）

2、正方体ABCDA1B1C1D1中，在图中作出二面角C1BDC,C1BDA的平面角。

检测二: 1、如图所示，已知AB平面BCD,BCCD

(1)四个面的形状怎样？(2) 有哪些直线与平面垂直？(3)有哪些平面互相垂直？

A

B

2、如图，正方体ABCDA1B1C1D1，求证平面ACC1A1平面A1BD

D C

5

设计意图：检验学生的学习目标达成情况。

（四）回顾反思

学生通过总结自己的收获和存在的问题，教师提炼深化内容，让学生从中体会到数学学习中的合作探究精神和实践能力。

七、作业分层设计

基础题：课本 P73 习题2.3 A组3,4. 拓展题:课本 P69 例3 在四面体PABC中任意两个平面所成的二面角的平面角如何确定？

八、板书设计

平面与平面垂直的判定

一、二面角 四、定理内容 六、例题

二、二面角的平面角 例1：

三、面面垂直的定义 五、定理证明 例2：

九、教学反思

本节课的学习采用问题驱动的课堂结构模式，从概念产生的背景到概念的建立，辨析，再到概念的应用，层层深入，最后完成评价检测。这样教学符合感知，辨认，概括，定义，应用的学习模式。

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