习题1.2教学设计及说课稿

函数的表示法－－习题1.2（函数值及分段函数）

学习目标

: 1.复习函数表达式的意义，复习由函数求函数值或求字母的取值范围

2.复习用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质

梳理

(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．

(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．

(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．

例子引入

例1（教材P24习题1.2第4题、第5题）

1.已知函数f(x)3x25x2, 求f(2),f(a),f(a3),

(学生先思考）

解：f(2)＝852,f(a)＝3a25a2,f(a3)3a213a14,

2.已知函数f(x)x2，（1）点（3，14）在函数的图像上吗？

x6（2）当x4时，求f(x)的值 （3）当f(x)＝2时，求x的值 解：（1）因f(3)（2）f(4)3214，所以点（3，14）不在函数的图像上

3642x2＝－3；x10

（3）f(x)＝246x6x f(x)

1

3

2

2

3

4

练习1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于(

) 4 1 A.1B．2C．3D．4 考点

函数的表示法

题点

函数的表示法

答案

A 7．已知函数f(x－1)＝x－3，则f(2)的值为(

) A．－2 C．1 B．6 D．0 2

考点

求函数的解析式

题点

换元法求函数解析式

答案

B 解析

方法一

令x－1＝t，则x＝t＋1，

∴f(t)＝(t＋1)2－3，

∴f(2)＝(2＋1)2－3＝6. 方法二

f(x－1)＝(x－1)2＋2(x－1)－2，

∴f(x)＝x2＋2x－2，∴f(2)＝22＋2×2－2＝6. 方法三

令x－1＝2，∴x＝3，∴f(2)＝32－3＝6. 8．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，则a的值为(

) A．8 B．1 C．5 D．－1 考点

求函数的解析式

题点

换元法求函数解析式

答案

B 解析

令3x＋2＝2，得x＝0. 令a＝2x＋1，代入x＝0，得a＝1. 2.若f(x)=

-

则f(5)的值为(

) A.8 B.9 C.10 D.11 解：由题意知,f(5)=f(f(11))=f(8)=f(f(14))=f(11)=8.故选A.

-

-

4.设f(x)=

2

-

2 若f(x)= 9,则x=(

)

2 A.-12 B.±3 C.-12或±3 D.-12或3 -

-

解：f(x)=

2

-

2

2 当x≤-1时,-x-3=9,解得x=-12; 当-1

∴x=-12或x=3.故选D.

9.已知函数f(x)=ax3+bx+7(其中a,b为常数),若f(-7)=-17,则f(7)的值为(

) A.31 B.17 C.-17 D.15 解：令g(x)=ax3+bx,则g(x)为奇函数.因为f(-7)=g(-7)+7=-17,所g(-7)=-17-7=-24,g(7)=24,f(7)=g(7)+7=31.故选A

例2（教材P24习题1.2第7题）

1.画出下列函数的图像 以

（1）F(x)0,x0; (2)G(n)3n1,n{1,2,3}

1,x0(学生思考，请两个学生到讲台板书,最后老师点评）

小结：当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．

练习1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．

考点

分段函数

题点

分段函数应用问题

解

设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．

2，0

类型二

研究分段函数的性质

命题角度1 给x求y

x＋1，x≤－2，22 已知函数f(x)＝x＋2x，－2

分段函数

题点

分段函数求值

试求f(－5)，f(－3)的值．

解

∵－5∈ －∞，－2]，∴f(－5)＝－5＋1＝－4. ∵－3∈ －2,2)，

∴f(－3)＝(－3)＋2× －3)＝3－23. 2

反思与感悟

分段函数求函数值的方法

(1)确定要求值的自变量属于哪一区间；

(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．

x＋4，x≤ ，23. 已知函数f(x)＝x－2x，04.(1)求f(f(f(5)))的值；

(2)画出函数f(x)的图象．

考点

分段函数

题点

分段函数求值

解

(1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3. 因为－3<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1. 因为 < ≤4，

所以f(f(f(5)))＝f(1)＝1－2× ＝－1. (2)f(x)的图象如下：

2

命题角度2 给y求x

4. 已知函数f(x)＝2x，x≤2，2x＋2，x>2.

(1)若f(x0)＝8，求x0的值；

(2)解不等式f(x)>8. 考点

分段函数

题点

分段函数与不等式结合

解

(1)当x0≤2时，由2x0＝8，得x0＝4，不符合题意；

当x0>2时，由x0＋2＝8，得x0＝6或x0＝－6(舍去)，故x0＝6. x≤2，(2)f(x)>8等价于2x>8，2

①

x>2，或2x＋2>8，

②

解①得x∈∅，解②得x>6，

综合①②知f(x)>8的解集为{x|x>6}．

本题反思与感悟

已知函数值求变量x取值的步骤

(1)先对x的取值范围分类讨论；

(2)然后代入到不同的解析式中；

(3)通过解方程求出x的解；

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内；

(5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来．

x，－ ≤x≤ ，5 已知f(x)＝1，x>1或x<－1.2

(1)画出f(x)的图象；

1(2)若f(x)＝，求x的值；

41(3)若f(x ≥，求x的取值范围．

4考点

分段函数

题点

分段函数与不等式结合

解

(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．

－ ≤x≤ ，1(2)f(x)＝等价于214x＝，41解①得x＝±，②解集为∅. 211∴当f(x)＝时，x＝±. 42

x>1或x<－1，①或11＝.4

②

11(3)由于f()＝，结合此函数图象可知，

24111使f(x ≥的x的取值范围是(,][,). 422

课后跟踪训练

x＋1，x>0，1．设f(x)＝1，x＝0，－1，x<0，

则f(f(0))等于(

) A．1 B．0 C．2 D．－1 考点

分段函数

题点

分段函数求值

答案

C x＋1，x≤ ，2．已知函数y＝－2x，x>0，2

则使函数值为5的x的值是(

) 5B．2或－

25D．2或－2或－

2A．－2或2 C．－2 考点

分段函数

题点

分段函数求值

答案

C 2，n＝0，3．已知函数f(n)＝*nfn－，n∈N，

则f(5)的值是(

) A．4B．48C．240D．1440 考点

分段函数

题点

分段函数求值

答案

C 2，n＝0，解析

因为f(n)＝*，n∈N，nfn－

所以f(5)＝5f(4)＝5×4f(3)＝5×4× f(2)＝5×4× ×2f(1)＝5×4× ×2× ×f(0)＝5×4× ×2× ×2＝240.故选C. 1，x>0，4．设f(x)＝0，x＝0，－1，x<0，考点

分段函数

题点

分段函数求值

答案

0

1，x为有理数，g(x)＝0，x为无理数，

则f(g(π))的值为________．

2x－4，x>0，5．已知函数f(x)＝－x－3，x<0，

则f(f(－4))＝________. 答案

－2 8.如图所示,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4).

(1)求f(f(0))的值; (2)求函数f(x)的解析式.

解(1)由题图可得f(f(0))=f(4)=2.

(2)设线段AB所对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0), 将

4

2

与

代入,得

2

4

4

∴

∴y=-2x+4(0≤x≤2).

2.同理,线段BC所对应的函数解析式为y=x-2(2≤x≤6).∴f(x)=

-2

4

2

-2 2

.9.某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲俱乐部每小时5元,乙俱乐部按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)90元,超过30小时的部分每小时2元;某公司准备下个月从这两家俱乐部中选择一家开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.设在甲家开展活动x(15≤x≤40)小时的收费为f(x)元,在乙家开展活动x小时的收费为g(x)元.

(1)试分别写出f(x)和g(x)的解析式.

(2)选择哪家比较合算?请说明理由.

解(1)由题意可知f(x)=5x,15≤x≤40, g(x)=

5

2

4 .(2)由5x=90,解得x=18, 即当15≤x<18时,f(x)g(x).

所以当15≤x<18时,选甲家比较合算; 当x=18时,两家一样合算; 当18

课堂小结：

对分段函数的理解

(1)分段函数是一个函数而非几个函数．

分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．

(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．