阅读与思考 集合中元素的个数优秀教学设计说课稿

第五课时

等差数列的前n项和(一) 一教学目标：

掌握等差数列前n项和公式及其获取思路，会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题；提高学生的推理能力，增强学生的应用意识. 二教学重点：

等差数列前n项和公式的推导、理解及应用. 三教学难点：

灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题. 四教学过程：

Ⅰ.复习回顾

经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：

（1）an－an－1＝d(n≥1)，d为常数. a＋b（2）若a，A，b为等差数列，则A＝2

. （3)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.（其中m，n，p，q均为正整数）

Ⅱ.情景引入

随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题. 例：如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔? 这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？

首先，我们来看这样一个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？

对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？

高斯的算法是：首项与末项的和：1＋100＝101，

第2项与倒数第2项的和：2＋99＝101，

第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，

……

100第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是101×

＝25050. 这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an

①

把项的次序反过来，Sn又可写成Sn＝an＋an－1＋…＋a1 ②

①＋②2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1) 又∵a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3＝…＝an＋a1

∴2Sn＝n(a1＋an) n（a1＋an）即：Sn＝

2若根据等差数列{an}的通项公式，Sn可写为：Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n－1)d]①,把项的次序反过来，Sn又可写为：Sn=an+(an－d)+…+[an－(n－1)d

②],把①、②两边分别相加，得

n个2Sn＝(a1an)(a1an)(a1an)＝n(a1＋an) n（a1＋an）即：Sn＝

. 2n（a1＋an）由此可得等差数列{an}的前n项和的公式Sn＝

. 2也就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半. 100（1＋100）用这个公式来计算1＋2＋3＋…＋100＝？我们有S100＝

＝25050. 又∵an＝a1+(n－1)d, n（a1＋an）n[a1＋a1＋（n－1）d）]n（n－1）∴Sn＝

＝

＝na＋

d

1222n（a1＋an）n（n－1）∴Sn＝

或S＝na＋

d

1n22有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？

分析题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{an}，其中a1＝1，a120＝120，n＝120. 解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{an}，其中n＝120，a1＝1，a120＝120. 120（1＋120）则：S120＝

＝7260 2答案：这个V形架上共放着7260支铅笔. 典例分析

例1：等差数列－10，－6，－2，2，…前多少项的和是54? . 变式练习1：

（1）已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16

（2）已知a6＝20，求S11. 分析：（1）由于本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出a1，a16，d，但由等差数列的性质，可以直接利用条件求出a1＋a16的和，于是问题得以解决. （2）要求S11只需知道a1＋a11即可，而a1与a11的等差中项恰好是a6，从而问题获解. 解：（1）∵a2＋a15＝a5＋a12＝a1＋a16＝18

16（a1＋a16）∴S16＝

＝8×18＝144. 2（2）∵a1＋a11＝2a6

11（a1＋a11）∴S11＝

＝11a6＝11×20＝220. 2五课堂练习

课本P42练习1，2，3，4.六

六课堂小结

通过本节学习，要熟练掌握等差数列前n项和公式: n（a1＋an）n（n－1）Sn＝

＝na＋

d及其获取思路.

122七课后作业

课本P45习题

1，2，3 八课后反思

本节课主要内容是等差数列前n项和公式推导和应用，在公式的应用中要注意项数问题。