小结优质课一等奖

专题一

集合运算

集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合这一单元的核心内容之一．在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之一．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解．

若集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－2≤x≤2}，则A∩B＝________. [解析]

由B＝{x|－2≤x≤2}，又A＝{x|x≥1}，结合数轴知：

所以A∩B＝{x|1≤x≤2}．

[答案]

{x|1≤x≤2}

1．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁RB)＝(

) A．{x|x>1}

C．{x|1＜x≤2}

解析：B＝{x|x＜1}，∴∁RB＝{x|x≥1} B．{x|x≥1} D．{x|1≤x≤2}

如图所示，A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．

答案：D 2．已知集合A＝{x|x<－1，或x≥1}，B＝{x|2a

解析：∵a<1，∴2a

由B⊆A知，a＋1<－1，或2a≥1. 1即a<－2，或a≥. 21由已知a<1，∴a<－2，或≤a＜1，

21即所求a的取值范围是(－∞，－2)∪2，1. 1答案：(－∞，－2)∪2，1

3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}，若A∩B＝B，求实数p的取值范围．

解析：∵A∩B＝B，∴B⊆A，

(1)当B＝∅时，即p＋1>2p－1. 故p<2，此时满足B⊆A；

p＋1≤2p－1，(2)当B≠∅时，又B⊆A，易知－2≤p＋1，2p－1≤5.故2≤p≤3. 由(1)(2)得p≤3.

专题二

集合中的新定义问题

1．新定义下的试题在近几年高考中时有出现，本考向中采用新定义的形式使集合中元素满足新条件，从而“构造”出新的集合，题型多以选择题形式出现，难度不大．

2．解决此类问题的关键是抓住新定义的本质，紧扣新定义进行推理论证．

(1)对正整数元素a，整数集合M，若a∈M，当a－1∉M且a＋1∉M时，则称a为集合M的“独立元素”．则集合A＝{1,3,4,6,7}的“独立元素”是________；集合B＝{1,2,3,4,5,6}不含“独立元素”的非空子集有________个．

(2)设＋是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a，b∈A有a＋b∈A，则称A对运算＋封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(

) A．自然数集

C．有理数集

B．整数集

D．无理数集

[解析]

(1)由定义知集合A＝{1,3,4,6,7}中的元素1是“独立元素”；对集合B＝{1,2,3,4,5,6}的子集进行分类，易知若不含“独立元素”，则其子集中的每个元素必有“左邻”或“右邻”相伴，所以六个元素的子集符合；五个元素的子集符合条件的是{1,2,3,4,5}，{1,2,3,5,6}，{1,2,4,5,6}，{2,3,4,5,6}；四个元素的子集符合条件的是{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,5,6}，{2,3,4,5}，{2,3,5,6}，{3,4,5,6}；三个元素的子集符合条件的是{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}；两个元素的子集符合条件的是{1,2}，{2,3}，{3,4}，{4,5}，{5,6}，故符合条件的子集个数有20个．

(2)A中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B中1÷2＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中2×2＝2不是无理数，即无理数集不满足条件．

[答案]

(1)1

20

(2)C

4．当A，B是非空集合，定义运算A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若M＝{x|y＝1－x}，N＝{y|y＝x2，－1≤x≤1}，则M－N＝________. 解析：集合M：{x|x≤1}，集合N：{y|0≤y≤1}，

∴M－N＝{x|x∈M且x∉N}＝{x|x<0}．

答案：{x|x<0} 专题三

函数图象的应用

函数图象是变量间的直观反映，能较形象地分析出变量间的变化规律，更是研究函数性质(最值、单调性)的有力工具，尤其是在新课标“多考一点想，少考一点算”的指导下，函数图象将成为考查学生理性思维的一个切入口．

已知函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．

(1)证明f(x)是偶函数；

(2)画出这个函数的图象；

(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)的单调性；

(4)求函数f(x)的值域．

[解析]

(1)∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1 ＝x2－2|x|－1＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

(2)当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，

当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2. 2x－1－2，

x≥0，即f(x)＝

2x＋1－2，

x＜0.

根据分段函数的作图方法，可得函数图象如图所示．

(3)函数f(x)的单调区间为：[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．

f(x)在[－3，－1)，[0,1)上为减函数，在[－1,0)，[1,3]上为增函数．

(4)当0≤x≤3时，

函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为f(1)＝－2，

最大值为f(3)＝2. 当－3≤x＜0时，

函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为f(－1)＝－2，最大值为f(－3)＝2；

故函数f(x)的值域为[－2,2]．

5．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

解析：依题意知“孤立元”必须是没有与k相邻的元素，因此无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素，因此符合题意的集合有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．故填6. 答案：6 2x＋1，x≥0，6．已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x)>f(2x)的x的取值范围是1，x<0，

________．

解析：画出函数f(x)＝

2x＋1，x≥0，的图象，如图所示．

1，x<0.

由f(1－x)>f(2x)可得

1－x>0，1－x>2x，11－∞，. 或解得x<0，或0≤x<.所以所求x的取值范围为332x<0，2x≥0，

1答案：(－∞，) 37．当m为何值时，方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根？

解析：令f(x)＝x2－4|x|＋5，作出图象如图所示，由图象可知，当1＜m＜5时

方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实根．

8．对于任意实数x1，x2，x3，max{x1，x2，x3}表示x1，x2，x3中31最大的那个数，若f(x)＝－x＋3，g(x)＝x＋，h(x)＝x2－4x＋3，求22max{f(x)，g(x)，h(x)}的最小值．

31解析：分别作出f(x)＝－x＋3，g(x)＝x＋，h(x)＝x2－4x＋3的图象，得到三个交点22A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．

不妨设H(x)＝max{f(x)，g(x)，h(x)}，

由图可得H(x)的解析式为：

－x＋30＜x≤1，H(x)＝31x＋1＜x≤5，22x－4x＋3x＞5.2x2－4x＋3x≤0，

其图象为图中实线部分，显然图象最低点为B(1,2)．

故H(x)的最小值为2.