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幂函数

一、知识梳理

1、

幂函数的定义

形如

的函数称为幂函数，其中

为常数

2、

常用幂函数的性质(定义域、值域、奇偶性、单调性、定点、图象)

一般情形：

,

,

二、习题讲解

1、.函数y=3xα-2的图象过定点(

)

A.(1,1) B.(-1,1) C.(1,-1) D.(-1,-1) 2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上是增函数的是(

) A.f(x)=x-1

B.f(x)=x-2

C.f(x)=x3

D.f(x)=

3.下列结论中,正确的是(

) A.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1) B.幂函数的图象可以出现在第四象限

C.当幂指数α取1,3,

时,幂函数y=xα都是增函数

D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在其整个定义域上是减函数

4.已知当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是(A.0<α<1 B.α<0

C.α<1 D.α>1 5.已知a=1.

,b=0.

-

,c=

,则(

) A.c

B.c

C.b

D.a

6.如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象,则

1 ) ()

A.-1

C.-11

a的取值范围是

.

- -

D.n<-1,m>1

7.若(a+1

<(3-2a

,则8.已知幂函数f(x)=

m=

.

(m∈Z)的图象关于y轴对称,并且f(x)在第一象限内是单调递减函数,则9、已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为偶函数.

(1)求f(x)的解析式; (2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.

答案：1-5，ACCCA

6、解析由于y=xm在(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故0

答案B 7、解析因为函数

f(x)=

的定义域为R,且为单调递增函数, 所以由不等式可得a+1<3-2a, 解得a<.

答案

-

8、解析因为幂函数f(x)=

答案1 9、解(1)由f(x)为幂函数知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x2,是偶函数,符合题意; 当m=2时,f(x)=x3,为奇函数,不合题意,舍去.

故f(x)=x2.

(2)由(1)得y=x2-2(a-1)x+1, 函数的对称轴为x=a-1, 由题意知函数在(2,3)上为单调函数, 2

- -

(m∈Z)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数,所以m2-2m-3为偶数,所以m2-2m为奇数.又因为f(x)在第一象限内是单调递减函数,故m=1.

∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a≤3或a≥4.

课后练习

1.若幂函数y=f(x)的图象经过点(-2,4),则在定义域内(

) (A)为增函数 (B)为减函数 (C)有最小值 (D)有最大值

2.函数y=()的图象是( ) -3

3.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是( ) (A)y= (B)y= (C)y= (D)y=

4.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)

) (A)[-1,3) (B)(-∞,5) (C)(3,5) 2(D)(3,+∞) 5.幂函数f(x)=(m-4m+4)在(0,+∞)为增函数,则m的值为( D ) (A)1或3 (B)3 (C)2 (D)1 6.已知幂函数y=(m∈N+)的图象与坐标轴不相交,且关于y轴对称,则m=

.

). 7.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,(1)求y=f(x)的解析式; (2)判断y=f(x)在其定义域上的单调性,并加以证明.

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