小结板书设计及意图

yf(x)在这个区间内是增函数；如果在这个区间内y0，那么函数yf(x)在这个区间内1.3.1函数的单调性与导数

龙泉第一中学

龙波

【学习目标】

1.了解可导函数的单调性与其导数的关系

；

2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。

【学习重点】

1.利用导数研究函数的单调性；

2.会求函数的单调区间。

【学习过程】

一、学习准备：

1.以前，我们用定义来判断函数的单调性.

对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有

，那么函数f(x)就是区间I上的

函数. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有

，那么函数f(x)就是区间I上的

函数. 2.导数的概念

函数yf(x)在xxf(x0x)f(x0)0处的瞬时变化率是: limx0xflimx0x

我们称它为函数yf(x)在xx0出的导数,记作f'(x0)或y'|xx0, 即f(x0) 3.导数的几何意义

函数yf(x)在xx0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即f(xf(x0x)f(x0)0)limx0xk

二、学习探究：

探究一：函数的导数与函数的单调性的关系：

问题：我们知道，曲线yf(x)的切线的斜率就是函数yf(x)的导数.从函数yx24x3的图像来观察其关系：

在区间（2，）内，切线的斜率为

，函数yf(x)的值随着yx的增大而

，即y0时，函数yf(x)在区间（2，）内fx = x2-4x+3为

函数；

在区间（，2）内，切线的斜率为

，函数yf(x)的值随着Bx的增大而

，即y/0时，函数yf(x)在区间（，2）O123Ax内为

函数.

新知：一般地，设函数yf(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y0，那么函数

是减函数.

想一想：⑴我们能不能从导数的定义理解上述内容？

⑵如果在某个区间内恒有f(x)0，那么函数f(x)有什么特性？

⑶从函数的导数与函数的单调性的关系我们可以解决那些问题？

例题学习

例1.求证：yx31在(,0)上是增函数。

思路启迪：要证明函数是增函数，只需证明导函数在给定区间上大于零恒成立

例2.确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 思路启迪：求单调区间就是解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0

解题反思:用导数求函数单调区间的步骤：

1、确定函数f(x)的定义域；2、求函数f(x)的导数f′(x). 3、

令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间；

令f′(x)＜0解不等式，得x的范围就是递减区间。

变式练习

确定下列函数的单调区间

(1)y=x3－9x2+24x

(2)y=3x－x3

1

三、学习反思

1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f'(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0,

则f(x)为减函数. 2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用. 3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂. 【学习评价】

一、感受与认识

1.在本节课的学习中，你感受最深的知识、方法、思想是什么？

2.本节课中，你没有弄明白的问题是什么？

二、自我测评

1.若在区间(a,b)内有f(x)0，且f(a)0，则在(a,b)内有（

）

A．f(x)0

B．f(x)0

C．f(x)0

D．不能确定

2、设yf(x)是函数yf(x)的导数, yf(x)的图象如图所示,

则yf(x)的图象最有可能是(

)

3 若f(x)ax3bx2cxd(a0)为增函数，则一定有（

）

A．b24ac0

B．b23ac0

C．b24ac0

D．b23ac0

4.函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数（

）

A．(2,32)

B．(,2)

C．(352,2)

D．(2,3)

5.函数f(x)x3x的增区间是

，减区间是

课后作业

1、判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：

（1）f(x)x3x2x；（2）f(x)3xx3；

2、求证：函数f(x)2x36x27在(0,2)内是减函数.

3、如果函数f(x)ax3x2x5在R上递增，求a的取值范围。

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