探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系名师课堂实录

2.3互为反函数的两个函数

仁寿第二中学

伍佳露

（1）指数函数与对数函数的进一步研究：

用列表描点法在同一个直角坐标点中画出y2x与ylog2x的函数图象: y2x

x

－2…

－3 [来源:Z§xx§k.Com]

－1 0 1 2 3 …

y

…

1

81

41

21 2 4 8 …

ylog2x

x

…

…

图象如下：

－3 －2 －1 0 1 1 2 2 4 3 8 …

…

y

1

8y 1

81

2

y2x

2 ylog2x

[来源:学_科_网Z_X_X_K]0

1 x

在指数函数y2中，x是自变量，

y是x的函数（xR,yR），而且其在R上是单调递增函数。过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y2的图象有且只有一个交点。由指数式与对数式关系，y2得xlog2y，即对于每一个y，在关系式xxxxlog2y的作用之下，都有唯一的确定的值x和它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，我们说xlog2y是y2x(xR)的反函数。

从我们的列表中知道，y2x与xlog2y是同一个函数图象。

（2）反函数的定义：

设A、B分别为函数yf(x)的定义域和值域，如果由函数yf(x)所解得的xg(y)也是一个函数（即对任意的yB，都有唯一的xA与之对应），那么就称函数xg(y)是函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，其中y是自变题，x是因变量，习惯上常改写成yf1(x)(xB，yA)。

由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数。

如yax(a1且a＞1）的反函数是ylogax(a＞0且a1)。

（3）反函数的性质：

①互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称。

②若函数yf(x)有反函数，且该函数上有一点(a,b)，则(b,a)必在其反函数的图象上，反之若(b,a)在反函数图象上，则(a,b)必在原函数图象上。

（4）当函数yf(x)存在反函数时，求反函数的程序是：

①

由yf(x)解出xf②

将xf11(y)；

(y)中的x与y互换位置，得yf1(x)；

1③

由yf(x)的值域，确定yf(x)的定义域。

④

求出反函数以后切记：一定要标明反函数的定义域！

【例43】

求下列函数的反函数：（1）y5 （2）ylog0.5x 2(1x0)2x1x，（3）f(x)lg(xx2)lg2 （4）yx （5）y2

21(0x1)x1，2x

2.1

幂函数

（1）幂函数的定义：

一般地，形如yx（xR）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，是常数.



13如yx,yx,yx本初等函数。

（2）幂函数的图象：

214等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图象。

[来源学科网ZXXK]

总结如下表：

定义域

奇偶性

在第Ⅰ象限单调增减性

定点

（3）幂函数的性质：

x①所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11）；

yx

R 奇

单调递增

yx

R 奇

2yx

R 奇

3yx

12yx

R R 13yx1

x|x0

非奇非偶

单调递增

x|x0

奇

单调递增

单调递增

单调递增

单调递减

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

②α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞）上，是增函数；

③α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数；

在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴。

【例44】

证明幂函数f(x)

x在[0,]上是增函数。

【例45】

利用函数的性质

，判断下列两个值的大小

（1）2,163 （2）(x1),x163232(x0) （3）(a4),4

22424分析：利用幂函数的单调性来比较大小。

【例46】画出yx的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性。

[来源:Z#xx#k.Com]23

2【例47】已知函数f(x)x2mm3(mZ)为偶函数，且f(3)f(5)。

（1）

求m的值，并确定f(x)的解析式

（2）

若g(x)loga[f(x)ax](a0,a1)，是否存在实数a，使得g(x)在区间[2，3]上为增函数。