实习作业教案及板书设计

函数的性质

●三维目标

1．知识与技能

(1)使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念；

(2)初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．过程与方法

(1)培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力；

(2)感悟数形结合、分类讨论的数学思想．

3．情感、态度与价值观

领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣．

●重点难点

重点：函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性．

难点：根据定义证明函数的单调性和利用函数图象证明单调性．

(1)重点的突破：以学生们熟悉的函数(一次函数、二次函数)为切入点，从直观入手，顺应学生的认知规律，让学生对图象的上升和下降有一个初步感性认识，在此基础上，教师通过启发式提问，层层分解函数单调性的定义中所涉及到的关键词(如：区间内，任意，当x1

(2)难点的解决：首先让学生明确用函数图象判断函数单调性是最直观的一种方式，在此基础上通过实例提出问题：函数图象不能作出时，应如何处理函数单调性，通过分组讨论，让学生明确用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究，从研究函数图象过渡到研究函数的解析式．最后师生共同总结利用定义证明函数单调性的基本步骤：设值，作差，变形，断号，定论．

1.理解单调函数的定义，理解增函数、减函数的定义．(重点) 课标解读

2．掌握定义法判断函数单调性的步骤．(重点) 3．掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法)．(难点)

【问题导思】

增函数和减函数的定义

如图，观察函数y＝x2的图象，回答下列问题：

1．当x>0时，函数值y随自变量x的增大而发生什么变化？

【提示】

增大．

2．如果在y轴右侧部分任取两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1

【提示】

y112. 3．如何用数学符号语言来描述y轴右侧的图象变化规律？

2

【提示】

在区间(0，＋∞)上，任取两个x1，x2，得到f(x1)＝x21，f(x2)＝x2，当x1

增函数

条件

设函数f(x)的定义域为I，定义减函数

域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2

当x1

当x1f(x2)

函数的单调性与单调区间

f(x)在区间D上是增函数

f(x)在区间D上是减函数

结论

定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

求函数的单调区间

求下列函数的单调区间并指出其在单调区间上是增函数还是减函数．

1(1)y＝3x－2；(2)y＝－；(3)y＝－x2＋2x＋3. x【思路探究】

画出函数的草图―→结合图象“升降”给出单调区间

【自主解答】

(1)函数y＝3x－2的单调区间为R，其在R上是增函数．

1(2)函数y＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为增x函数．

(3)函数y＝－x2＋2x＋3的对称轴为x＝1，并且开口向下，其单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为(1，＋∞)，其在(－∞，1]上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．

1．本题中求函数单调区间的方法是图象法，除这种方法外，求单调区间时还可以使用定义法，也就是由增、减函数的定义求单调区间．求出单调区间后，若单调区间不唯一，中间用“，”隔开，如本题第(2)小题．

2．一、二次函数及反比例函数的单调性：

(1)一次函数y＝kx＋b的单调性由参数k决定：当k＞0时，该函数在R上是增函数；当k＜0时，该函数在R上为减函数．

k(2)反比例函数y＝(k≠0)的单调性如下表所示：

xk的符号

k＞0

k＜0

单调区间

在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减

在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增

b(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性以对称轴方程x＝－为分界线．

2a

a＜0

bb－∞，－上单调递增，在－，＋∞上单调递减

在2a2aa＞0

bb－∞，－上单调递减，在－，＋∞上单调递增

在2a2a

如图1－3－1是定义在区间[－4,7]上的函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间是________，单调减区间是________．

图1－3－1

【解析】

由图可知，函数y＝f(x)的图象在[－4，－1.5]及[3,5)，[6,7]上具有下降趋势．在[－1.5,3]及[5,6)上具有上升趋势，故函数f(x)的单调增区间是[－1.5,3]及[5,6)；单调减区间是[－4，－1.5)，[3,5)及[6,7]．

【答案】

[－1.5,3)，[5,6)

[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]

判断或证明函数的单调性

9

判断函数f(x)＝x＋在x∈[3，＋∞)上的单调性并用定义证明．

x【思路探究】

取值→作差→变形→判号→定论

9【自主解答】

函数f(x)＝x＋在[3，＋∞)上是增函数．

x任取x1，x2∈[3，＋∞)，且x1

99x1－x2x1x2－9f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝

x1x2x1x2又x1

又x1，x2∈[3，＋∞)，∴x1x2－9>0，

∴f(x1)－f(x2)<0，

∴f(x1)

9即f(x)＝x＋在[3，＋∞]上为增函数．

x

1．定义法判断函数单调性的四个步骤

2．除定义法外，在判断或证明函数的单调性时还经常运用图象法．就是作出函数图象，由图象上升或下降，判断出单调性．

9判断函数f(x)＝x＋在(0,3)上的单调性．

x【解】

任取x1，x2∈(0,3)，且x1

99x1－x2x1x2－9f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝. x1x2x1x2

又∵0

∴f(x1)－f(x2)>0，

即f(x1)>f(x2)．

9∴f(x)＝x＋在(0,3)上为减函数．

x

函数单调性的应用

已知函数f(x)＝kx2－4x－8在[5,20]上是单调函数，求实数k的取值范围．

【思路探究】

首先对二次项系数k是否为零进行分类讨论，然后利用数形结合思想方法进行解答．

【自主解答】

当k＝0时，f(x)＝－4x－8，其在[5,20]上是单调减函数，

所以k＝0符合题意．

2当k≠0时函数f(x)＝kx2－4x－8对称轴为x＝，有两种情况：

k

2221①k>0时，要使f(x)在[5,20]上单调，必有5≥或20≤，即k≥或0

k综上可知，实数k的取值范围是

12kk≤或k≥. 105

由函数的单调性求参数取值范围的两种方法

(1)利用单调性的定义

例如，由f(x1)>f(x2)结合单调性，转化为x1与x2的大小关系．

(2)利用函数的特征

例如，二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数的取值范围．

已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(4a－3)>f(5＋6a)，则实数a的取值范围是________．

【解析】

由题意得，4a－3>5＋6a，即a<－4. 【答案】

(－∞，－4) 1．定义单调性时应强调x1，x2，在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．

2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、判号、定论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．

3．已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识：如f(x)在D上递增，则f(x1)