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课题：集合与函数概念小结

课型：复习课

教学重点：集合表示法及函数的性质

教学难点：函数的应用

教学过程：

一、复习习回顾：

1、集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。

2、元素与集合的关系：、

3、数集的符号：自然数集；正整数集N*或N；整数集；有理数集Q；实数集R. 4、集合与集合的关系：、、= 5、若集合中有n个元素，则它的子集个数为2；真子集个数为21；非空子集个数为21；非空真子集个数nnn为22. 6、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 7、子集的性质：

（1）（即任何一个集合是它本身的子集）；

（2）若AB，BC，则AC；

（3）若AB，BC，则AC.

8、集合的基本运算

（1）并集：（2）交集：（3）补集：（4）性质：①③,nxx或x

xx且x

，, ,

；

,=

，；②，，9、函数的三要素：定义域、值域和对应法则. 10、（一）求函数定义域的原则：

（1）若（2）若（3）若fx为整式，则其定义域是R；

fx为分式，则其定义域是使分母不为0的实数集合；

fx是二次根式（偶次根式），则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；

0（4）若fxx，则其定义域是xx0；

（二）求函数值域的方法以及分段函数求值

（三）求函数的解析式

11、函数的单调性：

（1）增函数：设x1,x2（2）减函数：设x1,x2强调四点：

（fx的定义域），当x1x2时，有f(x1)f(x2). （fx的定义域），当x1x2时，有f(x1)f(x2). ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在AB上是增（或减）函数．

④定义的变形应用：如果证得对任意的x1,x2(a,b)，且x1x2有f(x2)f(x1)0或者x2x1(f(x)f(x(21x))21f(x)在区间(a,b)上是增函数；如果证得对任意的x1,x2(a,b)，且x，能断定函数)0x1x2有f(x2)f(x1)0或者(f(x2)f(x1))(x2x1)0，能断定函数f(x)在区间(a,b)上是减函数。

x2x1几点说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区

上是增函数，而在另一些区间上不是增函数；函数的单调区间是其定义域的子集；该区间内任意的两个实数，忽略任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）；讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域。

（3）三类函数的单调性：

①一次函数fxkxb

fx在R上是增函数；当k0时，函数fx在R上是减函数. kb

xa当k0时，函数②反比例函数fx当k0时，函数当k0时，函数③二次函数fx在,a,a,上是减函数；

fx在,a,a,上是增函数. fxax2bxc

bb,上是增函数，在,上是减函数；

2a2aa0时，函数fx在当a0时，函数bb,,fx在上是增函数. 上是减函数，在2a2a（4）证明函数单调性的方法步骤：（i）定义：设值、作差、变形、断号、定论．

即证明函数单调性的一般步骤是：⑴设x1,x2是给定区间内的任意两个值，且x1

f(x2)的符号确定其增减性. （5）如何求函数的单调区间

（6）复合函数的单调性：同增异减

（7）函数fx在(a,b)上是减函数和函数fx的单调递减区间是(a,b)的区别。

12、函数的奇偶性：

（1）奇函数：fxfx （2）偶函数：fxfxf(x)f(x)

注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性

②由于任意x和x均要在定义域内，故奇（偶）函数的定义域一定关于原点对称．所以我们在判定函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称

③若奇函数的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即f(0)0. ④函数的单调性是对区间而言，它是“局部”性质；而函数的奇偶性是对整个定义域而言的，它是“整体”性质

⑤偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数在对称区间上的单调性相同。

（3）证明和判断函数奇偶性的方法步骤：

利用定义判断函数奇偶性的一般步骤：

①

首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②

②确定f(x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：

若f(x)f(x)或f(x)f(x)0,则f(x)是偶函数；

若f(x)f(x)或f(x)f(x)0,则f(x)是奇函数．

（4）奇偶函数图象的性质特点：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

（5）函数f(xa)为奇函数可推得：

（6）函数f(xa)为偶函数可推得：

（7）两个函数的定义域的交集非空，则有奇函数与偶函数的乘积是奇函数，奇函数与奇函数的成绩是偶函数，偶函数与偶函数的乘积是偶函数。

13、函数的图象及其变换、对称性：

（1）函数的轴对称：

定理1：如果函数yfx满足faxfbx，则函数yfx的图象关于直线xab对称. 2推论1：如果函数yfx满足faxfax，则函数yfx的图象关于直线xa对称. 推论2：如果函数yfx满足fxfx，则函数yfx的图象关于直线x0（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化. （2）函数的点对称：

定理2：如果函数yfx满足faxfax2b，则函数yfx的图象关于点a,b对称.

推论3：如果函数yfx满足faxfax0，则函数yfx的图象关于点a,0对称. 推论4：如果函数yfx满足fxfx0，则函数yfx的图象关于原点0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化. 二．典型题讲解：

[例1]

：

设A是实数集，满足若a∈A，则1A，a1且1A. 1a⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素. ⑵A能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－1∈A.

a1∈A  2∈A

21

2⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素. 解：⑴2∈A  －1∈A 

∴ A中至少还有两个元素：－1和⑵如果A为单元素集合，则a＝2即aa1＝0 1

1a该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集

⑶a∈A  1∈A 

1a1111a∈A1a1A，即1－∈A

a1a1⑷由⑶知a∈A时，11111∈A， 1－∈A .现在证明a,1－, 三数互不相等.①若a=,即a2-aa1a1a1a1

1aa+1=0 ，方程无解，∴a≠②若a=1－

③若1－112，即a-a+1=0，方程无解∴a≠1－ aa1111 =，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠. a1aa1a综上所述，集合A中至少有三个不同的元素. 点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨. [例2]：

22设集合A={a|a=n1,n∈N}，集合B={b|b=k4k5,k∈N}，试证：AB．

++证明：任设a∈A， 2则a=n1=(n＋2)－4(n＋2)＋5 (n∈N), 2+∵

n∈N*，∴ n＋2∈N*

∴

a∈B故

①

显然，1Aa|an21,nN*，而由

B={b|b=k24k5,k∈N}={b|b=(k2)21，k∈N}知1∈B，于是A≠B

②

由①、②

得AB．

++点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．

（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．

[例4]：【15年北京理科】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【解析】

试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D. 考点：1.函数简单应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解. 2x,x2,[例5]：（15年天津理科高考题改编）已知函数fx

函数gxbf2x

，其中2x2,x2,bR，若函数yfxgx

与x轴恰有4个交点，则b的取值范围是

（A）7777,

（B）,

（C）0,（D）,2

4444

【答案】D 【解析】

2x,x2,22x,x0试题分析：由fx得f(2x)，

22x0x,x2,x2,2xx2,x0所以yf(x)f(2x)4x2x,0x2，

222x(x2),x2x2x2,x0即yf(x)f(2x)2,0x2

x25x8,x2yf(x)g(x)f(x)f(2x)b,所以yfxgx与x轴恰有4个交点，等价于方程f(x)f(2x)b0有4个不同的解，即函数yb与函数yf(x)f(2x)的图象的4个公共点，由图象可知

8642151052468510157b2. 4

考点：1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.