信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆板书设计及设计说明

椭圆及其标准方程

弥勒四中

刘加武

●教学目标

1．掌握椭圆的定义、方程及标准方程的推导；

2．掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距；

3．了解建立坐标系的选择原则. ●教学重点

椭圆的标准方程及定义

●教学难点

椭圆标准方程的推导

●教学方法

学导式

●教具准备

椭圆演示模板、三角板

●教学过程

Ⅰ.复习回顾：

师：在日常生活中，大家对椭圆已存有一定的认识，并在第七章学习了求解曲线方程的基本方法，为使大家掌握椭圆的本质特征，这一节，我们开始研究椭圆. Ⅱ.讲授新课：

1．椭圆定义：

我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距. 说明：①可用椭圆演示模板向学生展示椭圆图形的画法；②要求学生注意常数要大于

∣F1F2∣的条件，同时让学生明确常数小于或等于∣F1F2∣时，轨迹为无轨迹或一条线段. 2．椭圆的标准方程：

x2y2形式一：221(ab0)

ab说明：此方程表示的椭圆焦点在x轴上，焦点是F1（－c，0）、F2（c，0），其中c2=a2－b2. y2x2形式二：221(ab0)

ab说明：①此方程表示的椭圆焦点在y轴上，焦点是F1（0，－c），F2（0，c），其中c2=a2－b2. ②两种形式中，总有a>b>0；

③两种形式中，椭圆焦点始终在长轴上；

④a、b、c始终满足c2=a2－b2；

⑤遇到形如Ax2+By2=C，只要A、B、C同号，就是椭圆方程，推导（用幻灯片给出）：

如图8—2，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且O与线段F1F2的中点重合. 设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1、F2的坐标分别是（－c,0），(c,0). 又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a.

由椭圆定义，椭圆就是集合

P=｛M∣∣MF1∣+∣MF2∣=2a｝

22因为∣MF1∣=(xc)y

22∣MF2∣=(xc)y

2222所以得：(xc)y+(xc)y=2a

整理得：（a2－c2）x2+a2y2=a2(a2－c2). 由椭圆的定义可知：2a＞2c，即a＞c，故a2－c2＞0. 令a2－c2=b2，其中b＞0，代入上式整理得：

x2y21(ab0)

a2b2说明：其中具体整理步骤让学生自得. 3．例题讲解：

例1

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10；

（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点(35,). 22x2y2解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为221(ab0). ab∵2a=10, 2c=8 ∴a=5, c=4 ∴b2=a2－c2=52－42=9 x2y21. 所以所求椭圆的标准方程为259y2x2（2）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为221(ab0). ab由椭圆的定义知：

2a=()(2)()(2)210

322522322522∴a=10，又c=2

∴b2=a2－c2=6 y2x21

所以所求椭圆方程为106说明：例1（1）（2）要求学生熟练应用c2=a2－b2关系式求解椭圆标准方程. Ⅲ.课堂练习：

课本P95练习2，3 ●课堂小结

师：通过本节学习，要求大家理解并掌握椭圆定义，并熟练掌握椭圆的两种标准方程及应用. ●课后作业

习题8.1

1，3，4 ●板书设计

§8.1.1

……

1．椭圆定义

3.例题1（1）

学生练习

……

……

1……

2．标准方程

（2）……

……

2……

●教学后记