3.1.2 指数函数教案3

指数函数及其性质

一、教材分析

１．教材背景

指数函数是在学习了函数的现代定义及其图象、性质，掌握了研究函数的一般思路，并将幂指数从整数扩充到实数范围之后，学习的第一个重要的基本初等函数，是《函数》一章的重要内容。本节内容分三课时完成，第一课时学习指数函数的概念、图象、性质；第二、三课时为指数函数性质的应用，本课为第一课时。

２．本课的地位和作用

本节内容既是函数内容的深化，又是今后学习对数函数的基础，具有非常高的实用价值，在教材中起到了承上启下的关键作用。在指数函数的研究过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理、演绎推理等数学思想方法，通过学习可以帮助学生进一步理解函数，培养学生的函数应用意识，增强学生对数学的兴趣。

二、重难点分析

根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：

重点：本节课是围绕指数函数的概念和图象，并依据图象特征归纳其性质展开的。因此本节课的教学重点是掌握指数函数的图象和性质。

难点：

1、对于a1和0a1时函数图象的不同特征，学生不容易归纳认识清楚。因此，弄清楚底数a对函数图象的影响是本节的难点之一。

2、底数相同的两个函数图象间的关系。

三、目标分析

１．知识技能目标

掌握指数函数的概念、图象和性质。

２．过程性目标

通过自主探索，让学生经历“特殊→一般→特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法。

３．情感、价值观目标

让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。

四、学情分析

１．有利因素

学生刚刚学习了函数的定义、图象、性质，已经掌握了研究函数的一般思路，对于本节课的学习会有很大帮助。

２．不利因素

本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学

生学习起来有一定难度。

五、教法学法

根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教法、学法：

探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点，类比学习函数的一般思路，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。

六、教学过程设计

复习旧知→新课引入→探索新知→知识扩展→课堂练习→课堂小结→课后作业

七、教学过程

１．复习旧知

函数的三要素是什么？函数的单调性反映了函数哪方面的特征？

答：函数的三要素包括：定义域、值域、对应法则。函数的单调性反映了函数值随自变量变化而发生变化的一种趋势，例如：某个函数当自变量取值增大时对应的函数值也增大则表明此函数为增函数，图象上反应出来越往右图象上的点越高。

２．新课引入

观看视频解答下面两个问题：

问题1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个……，这样的细胞分裂x次后，细胞个数y与x的函数关系式为：y=2x（x∈N*）

问题2：铀核裂变能产生巨大的能量，它的裂变方式称为链式反应，假定1个中子击

打1个铀核，此中子被吸收产生能量并释放出3个中子，这3个中子又打中另外3个铀核产生3倍的能量并释放出9个中子，这9个中子又击中9个铀核……这样的击打进行了x次后释放出的中子数y与x的关系是：y=3x（x∈N*）

提问：y=2x与y=3x这类函数的解析式有何共同特征？

答：函数解析式都是指数形式，底数为定值且自变量在指数位置。

（若用a代换两个式子中的底数，并将自变量的取值范围扩展到实数集则得到……）

３．探索新知

〈一〉指数函数的定义

一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域

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是R。

提问：在本定义中要注意哪些要点？

1 2 3 4 自变量

定义域

a的范围

定义的形式（对应法则）

x R a>0，且a≠1 y=ax

进一步提问：为什么规定定义中a0且a1？

将a如数轴所示分为：a0,a0，0a1,a1和a1五部分进行讨论：

(1)如果a0, 比如y(4)x，这时对于xx当x0时,a0(2)如果a0，

x当x0时,a无意义11,x等，在实数范围内函数值不存在；

42(3)如果a1，y1x1，是个常值函数，没有研究的必要；

(4)如果0a1或a1即a0且a1，x可以是任意实数。

* 因为指数概念已经扩充到整个实数范围，所以在a0且a1的前提下，x可以是任意实数,即指数函数的定义域为R。

〈二〉指数函数图象

指数函数的图象是怎样的呢？先看特殊例子（将同学们分两组用描点法分别画出下列函数的图象）

11第一组：画出y2x，y()x的图象；第二组：画出y3x，y()x的图象。

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（及时指导学生作图，然后播放已经做好的函数图象，让学生比较与自己所画出来的有哪些异同点。）

提问：此两组图象有何共同特征？当底数0a1和a1时图象有何区别？

〈三〉指数函数性质

根据指数函数的图象特征，由特殊到一般的推理方法提炼指数函数的性质，完成下表：

图

象

性

质

(1)定义域：R (2)值

域：(0，+∞) (3)过点(0,1)，即x=0时，y=1 (4)在R上是增函数

(4)在R上是减函数

a>1

0

〈四〉指数函数性质的简单应用

例1 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质上原来的84%。画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半（保留一个有效数字）

解：设这种物质最初的质量是1，

经过x年后，剩留量是y。

经过1年，剩留量y184%0.841

经过2年，剩留量y84%84%0.842

…………

一般地，经过x年，剩留量

y0.84x

根据这个函数关系可以列表如下：

x

y

0 1 1 2 3 4 5 6 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35 画出指数函数y0.84x的图象。从图上看出y0.5只需x4。

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答：约经过4年，剩留量是原来的一半。

例2 说明下列函数的图象与指数函数y2x的图象的关系，并画出它们的示意图。

⑴y2x1；

⑵y2x2

解：⑴比较函数y2x1与y2x的关系：

y231与y22相等，

y221与y21相等，

y221与y23相等，

…………

由此可以知道，将指数函数y2x的

图象向左平行移动1个单位长度，就得到

函数y2x1的图象。

⑵比较函数y2x2与y2x的关系：

y212与y23相等，

y202与y22相等，

y232与y21相等，

…………

由此可以知道，将指数函数y2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y2x2的图象。

４、知识扩展

〈一〉考古中的指数函数

14C是具有放射性的碳同位素，能够自发地进行衰变，变成氮，半衰期为573014年，活的植物通过光合作用和呼吸作用与环境交换碳元素，体内C的比例与大气中的14相同。植物枯死后，遗体内的C仍在进行衰变，不断减少，但是不再得到补充。因此，根据放射性强度减小的情况就可以算出植物死亡的时间。

测年方法进入考古学研究被誉为考古学发展史上的一次革命，它将考古学研究中得到的相对年代转变为绝对年代，给考古学带来了质的飞跃，使研究更加科学化，促

x15730进了考古学研究的深入。其中测算公式是一个指数式y()。

2〈二〉音乐中的指数函数

钢琴是一种用琴槌击弦而振动发声键盘乐器。从左往右逐个试弹所有琴键，我们听到琴声逐渐由低到高，这是因为琴声的高低与琴弦振动的频率有关，而琴弦振动的频率又与琴弦的长度有关。粗略地说，琴弦长则振动慢，频率小，故发出的声音低；

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琴弦短，则振动快，频率大，故发出的声音高。

音域宽度自大字二组的A2至小字五组的c5。根据“十二平均律”的法则，任何两个相邻的键所发出的音相差半音阶（100音分），它们的振动频率之比是一个常数Q，设最低的第一个音A2的频率是a，则第二个音#A2的频率是aQ，第三个音B2的频率是aQ2，……另外，音高每提高八度（如A2到A1）频率增大为原来的2倍，而八度音域内包含12个半音（连续的7个白键和5个黑键），所以，第十三个音（A1）的频率是第一个音（A2）的频率的2倍。故aQ12a2，即Q122。

另一方面，弦振动的频率与弦长成反比。所以，从左向右，相邻两弦的长度之比是常数q=1/Q，从而有q12=1/2。

设左边第一根弦的长度为l，则第二根弦的长度为lq，第三根弦的长度为lq2，……如图，取第一根弦所在直线为y轴，各弦靠近键盘的端点所在直线为x轴建立坐标系，相邻两弦间的距离为长度单位。这时，将弦的另一端点（上部）连成光滑曲线，那么曲线上任意点的坐标(x,y)都满足函数关系ylqx。

若令clogql，则ylqx，可化为yqxc。

经过适当平移，就可知道光滑曲线是指数函数yqx的图象——指数曲线。

生活中到处都有数学，我们要学会用数学的眼光观察世界，用数学发现自然界的奥秘。

５、课堂练习

1、求下列函数的定义域：

1xx1(1)y3(2)y5

2、函数y=a2x-3+3恒过定点 。

3、作出函数y2x1和y2x1的图象，并说明

这两个函数图象与y2x图象的关系。

4、如图是指数函数①yax，②ybx，③ycx，

④ydx的图象，则a,b,c,d的大小关系是（

）

A．ab1cd B．ba1dc

C．1abcd

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D．ab1dc

６．课堂小结

设问：本课我们主要学习了哪些内容？应当注意些什么？

本节课主要学习了指数函数的定义、图象和性质。弄清楚底数a1和0a1时函数图象的不同特征及性质是学好本节课的关键所在。

７．课后作业

①课本第73页习题2.6 1、2 ②收集关于指数函数应用的相关资料，通过分析整理，写一篇800字左右的报告。

八、课后反思

〈一〉在教学过程中有几个问题值得注意：

１．学生可能把自变量在指数上的函数都认为是指数函数，应予以及时纠正。

２．若学生质疑指数函数单调性结论的正确性，应先肯定质疑是正确的，因为用图象观察归纳出来的结论，必须经过严格证明才是可靠的！但由于教材对此不作要求，因此，鼓励学有余力的同学可自己尝试证明。

〈二〉本课设计有以下几点值得借鉴：

１．本课设计在注重引导学生学习书本知识的同时，还进行了知识的扩展，让学生感受到数学的实用价值。

２．本课设计时考虑了学生在学习中最可能出现的各种情况，并采用合理方式进行引导、解决。

３．教学过程中充分发挥学生主体作用，始终以问题的形式引导学生主动参与，在师生互动、生生互动中让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程，做到了把握重点、突破难点。

附：板书设计

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