习题1.2多媒体教案及点评

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函数的奇偶性

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是(

) A．A⊆B

C．A∪B＝{1,2,3,4,5}

B．A∩B＝{2} D．A∩(∁UB)＝{1} 解析：选D

A显然错误；A∩B＝{2,3}，B错；A∪B＝{1,2,3,4}，C错，故选D. 2．已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈Z}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则A∩B为(

) A．∅

C．[0，＋∞)

B．{1} D．{(0,1)} 解析：选B

由1－x2≥0得，－1≤x≤1，

∵x∈Z，∴A＝{－1,0,1}．

当x∈A时，y＝x2＋1∈{2,1}，即B＝{1,2}，

∴A∩B＝{1}．

2ex1，x＜2，3．设f(x)＝则f(f(2))＝(

) xlog2－1，x≥2，3－

A．0

C．2

B．1 D．3 解析：选C

∵f(2)＝log3(22－1)＝1. ∴f(f(2))＝f(1)＝2e11＝2. －4．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(

) A．y＝x2

－B．y＝x1

－C．y＝x－2

解析：选A

∵y＝x－12D．y＝logx

是奇函数，y＝logx不具有奇偶性，故排除B、D，又函数y＝1212x2－2在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，故排除C，只有选项A符合题意．

5．函数y＝log2|1－x|的图像是(

)

解析：选D

函数y＝log2|1－x|可由下列变换得到：

y＝log2x→y＝log2|x|→y＝log2|x－1|→y＝log2|1－x|.故选D.

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216．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，

，则log2f (2)的值为(

) 22 1A.

2C．2

α1B．－

2D．－2 1121α1解析：选A

设f(x)＝x，则＝2，∴α＝，f (2)＝22，所以log2 f (2)＝log222＝221. 217．函数f(x)＝lg x－x的零点所在的区间是(

) A．(0,1)

C．(10,100)

B．(1,10) D．(100，＋∞) 191＝＞0，f(100)＝2－＞0，

1010100解析：选B

∵f(1)＝－1＜0，f(10)＝1－1∴f(1)·f(10)＜0，由函数零点存在性定理知，函数f(x)＝lg x－x的零点所在的区间为(1,10)．

8．已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则a，b，c之间的大小关系是(

) A．a＜c＜b

C．b＜c＜a

解析：选D

∵a＝0.32∈(0,1)，

b＝log20.3＜0，c＝20.3＞1. ∴c＞a＞b. 9．如右图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中整体水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是下列图象中的(

) B．a＜b＜c

D．b＜a＜c

解析：选B

开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢．故选B. 1＋x210．已知函数f(x)＝，则有(

) 1－x21A．f(x)是奇函数，且f x＝－f (x) 1B．f(x)是奇函数，且f x＝f (x)

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1C．f(x)是偶函数，且f x＝－f (x) 1D．f(x)是偶函数，且f x＝f (x) 解析：选C

∵f(－x)＝f(x)，

∴f(x)是偶函数，排除A、B. 121＋x1＋x21又f x＝＝＝－f (x)，故选C. 12x2－11－x11．已知函数f(x)＝m＋log2x2的定义域是[1,2]，且f(x)≤4，则实数m的取值范围是(

) A．(－∞，2]

C．[2，＋∞)

B．(－∞，2) D．(2，＋∞) 解析：选A

因为f(x)＝m＋2log2x在[1,2]是增函数，且由f(x)≤4，得f(2)＝m＋2≤4，得m≤2. |lg x|，010，2abc的取值范围是(

) A．(1,10)

C．(10,12)

B．(5,6) D．(20,24)

解析：选C

作出f(x)的大致图象．

1由图象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设a

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设U＝R，已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞a}，且(∁UA)∪B＝R，则实数a的取值范围是________．

解析：∵A＝{x|x＞1}，

∴∁UA＝{x|x≤1}．

由B＝{x|x＞a}，(∁UA)∪B＝R可知a≤1. 答案：(－∞，1]

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234214．lg－lg 8＋lg 75＝________. 712111解析：原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝. 232221答案：

22x＋1，x＜1，15．已知函数f(x)＝2若f(f(0))＝4a，则实数a等于________．

x＋ax，x≥1，

解析：∵0＜1，∴f(0)＝20＋1＝2. ∵2＞1，∴f(2)＝4＋2a，

∴f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，

∴a＝2. 答案：2 16．已知函数f(x)＝lg(2x－b)(b为常数)，若x∈[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，则b的取值范围是________．

解析：∵要使f(x)＝lg(2x－b)在x∈[1，＋∞)上，恒有f(x)≥0，∴有2x－b≥1在x∈[1，＋∞)上恒成立，即2x≥b＋1恒成立．又∵指数函数g(x)＝2x在定义域上是增函数．∴只要2≥b＋1成立即可，解得b≤1. 答案：(－∞，1] 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|2＜2x＜8}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．

(1)当a＝2时，求A∩B；

(2)若B⊆∁RA，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝2时，A＝{x|2＜2x＜8}＝(1,3)，B＝{x|a≤x≤a＋3}＝[2,5]，故A∩B＝[2,3)．

(2)∁RA＝(－∞，1]∪[3，＋∞)．

故由B⊆∁RA知，a＋3≤1或a≥3，

故实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．

18．(本小题满分12分)已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4,2)．

(1)求a的值；

(2)若g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)，求g(x)的解析式及定义域；

(3)在(2)的条件下，求g(x)的单调减区间．

解：(1)由已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4,2)，

则2＝loga4，即a2＝4，

又a＞0且a≠1，所以a＝2.

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(2)g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x) ＝log2(1－x)＋log2(1＋x)．

1－x＞0，由得－1＜x＜1，定义域为(－1,1)．

1＋x＞0，

(3)g(x)＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝log2(1－x2)，其单调减区间为[0,1)．

19．(本小题满分12分)若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y>0，满足

xf y＝f (x)－f (y)．

(1)求f (1)的值；

1(2)若f (6)＝1，解不等式f (x＋3)－f 3<2. x解：(1)在f y＝f (x)－f (y)中，令x＝y＝1，

则有f (1)＝f (1)－f (1)，∴f (1)＝0. (2)∵f (6)＝1，

1∴f (x＋3)－f 3<2＝f (6)＋f (6)．

∴f (3x＋9)－f (6)

x＋3即f 2

< f (6)．

∵f (x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，

x＋3>0，∴x＋3解得－3

<6.2即不等式的解集为(－3,9)．

20．(本小题满分12分)某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，已知该商品进价为3元/件，并规定其销售单价不低于商品进价，且不高于12元，该商品日均销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示．

(1)试求y关于x的函数解析式；

(2)当销售单价定为多少元时，该商品每天的利润最大？

解：(1)设日均销售y与销售单价x(元)的函数关系为：y＝kx＋b(k≠0)，把(3,600)，(5,500)3k＋b＝600，代入上式，得

5k＋b＝500，

解得k＝－50，b＝750，

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∴日均销售量y与销售单价x(元)的函数关系为y＝－50x＋750,3≤x≤12. (2)设销售单价为x元，日均获利W元，根据题意得，

W＝(x－3)(－50x＋750)－300＝－50(x－9)2＋1 500，

∵a＝－50＜0，且3＜9＜12，

∴当x＝9时，W有最大值，最大值为1 500元．

21．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－1. (1)求f (3)＋f(－1)；

(2)求f (x)的解析式；

(3)若x∈A，f(x)∈[－7,3]，求区间A. 解：(1)∵f(x)是奇函数，

∴f(3)＋f(－1)＝f(3)－f(1)＝23－1－2＋1＝6. (2)设x＜0，则－x＞0，

∴f(－x)＝2x－1，

－∵f(x)为奇函数，

∴f(x)＝－f(－x)＝－2x＋1，

－x2－1，x≥0，∴f(x)＝－x

－2＋1，x＜0.

(3)作出函数f(x)的图象，如图所示．根据函数图象可

得f(x)在R上单调递增，当x＜0时，－7≤－2x＋1＜0，

－解得－3≤x＜0；

当x≥0时，0≤2x－1≤3，

解得0≤x≤2；

∴区间A为[－3,2]．

22．(本小题满分12分)对于函数f(x)＝a－(1)探索函数y＝f(x)的单调性；

(2)求实数a的值，使函数y＝f(x)为奇函数；

(3)在(2)的条件下，令b＝2，求使f(x)＝m(x∈[0,1])有解的实数m的取值范围．

22解：(1)函数f(x)的定义域为R，设x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝a－b x＋1－a－b x＋1＝2(a∈R，b＞0，且b≠1)．

b＋1x122b x1－b x2. b x1＋1b x2＋1当b＞1时，由x1＜x2，

得bx1＜bx2，从而bx1－bx2＜0，

于是f(x1)－f(x2)＜0，

所以f(x1)＜f(x2)，

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此时函数f(x)在R上是单调增函数；

当0＜b＜1时，由x1＜x2，

得bx1＞bx2，从而bx1－bx2＞0，

于是f(x1)－f(x2)＞0，所以f(x1)＞f(x2)，

此时函数f(x)在R上是单调减函数．

(2)函数f(x)的定义域为R，由f(0)＝0得a＝1. 当a＝1时，

bx－12f(x)＝1－x＝，

b＋1bx＋1bx－11－bx2f(－x)＝1－－x＝－x＝

.

b＋1b＋11＋bx－满足条件f(－x)＝－f(x)，

故a＝1时，函数f(x)为奇函数．

(3)f(x)＝1－2，

2＋1x∵x∈[0,1]，

∴2x∈[1,2]，2x＋1∈[2,3]，

22，1，

∈32＋1x10，，

∴f(x)∈3要使f(x)＝m(x∈[0,1])有解，

110，. 则0≤m≤，即实数m的取值范围为33