习题2.1教学设计(教案)

课题：函数的概念（一）

课

型：新授课

教学目标：

（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的三要素；

（3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：

一、复习准备：

1．

讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？

2．回顾初中函数的定义：

在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课：

（一）函数的概念：

思考1：（课本P15）给出三个实例：

A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是h130t5t2。

B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。（见课本P15图）

C．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。（见课本P16表）

讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？

三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：

f:AB

函数的定义：

设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f:AB为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：

yf(x),xA

其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫值域（range）。显然，值域是集合B的子集。

（1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R；

（2）二次函数yax2bxc

(a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值

4acb24acb2Byy域Byy；当a﹤0时，值域。

4a4ak

（3）反比例函数y(k0)的定义域是xx0，值域是yy0。

x（二）区间及写法：

设a、b是两个实数，且a

（1）

满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

（2）

满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；

（3）

满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为a,b,a,b；

这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。（数轴表示见课本P17表格）

符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足xa,xa,xb,xb的实数x的集合分别表示为a,,a,,

,b,,b。

巩固练习：

用区间表示R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0} （学生做，教师订正）

（三）例题讲解：

例1．已知函数f(x)x22x3，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。

变式：求函数yx22x3,x{1,0,1,2}的值域

1例2．已知函数f(x)x3，

x22（1）

求f(3),f(),ff3的值；

3（2）

当a>0时，求f(a),f(a1)的值。

（四）课堂练习：

1．

用区间表示下列集合：

xx4,xx4且x0,xx4且x0,x1,xx0或x2

2．

已知函数f(x)=3x2＋5x－2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值；

3．

课本P19练习2。

归纳小结：

函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示

作业布置：

习题1.2A组，第4，5，6；

课后记

课题：函数的概念（二）

课

型：新授课

教学目标：

（1）会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；

（2）掌握复合函数定义域的求法；

（3）掌握判别两个函数是否相同的方法。

教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。

教学难点：复合函数定义域的求法。

教学过程：

一、复习准备：

3x21. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝3x是不是同一个函x数？为什么？

2. 用区间表示函数y＝ax＋b（a≠0）、y＝ax2＋bx＋c（a≠0）、y＝(k≠0)的定义域与值域。

二、讲授新课：

（一）函数定义域的求法：

函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。

例1：求下列函数的定义域（用区间表示）

⑴

f(x)=x3x22kx；

⑵

f(x)=2x9；

⑶

f(x)=x1－x；

2x学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）

说明：求定义域步骤：列不等式（组）

→

解不等式（组）

*复合函数的定义域求法：

（1）已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x))的定义域；

求法：由a

（2）已知f(g(x))的定义域为（a,b），求f(x)的定义域；

求法：由a

例2．已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x＋1)的定义域。

例3．已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。

巩固练习：

1．求下列函数定义域：

（1）f(x)1x11；

（2）f(x)

1x41x2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求f(x21)的定义域；

（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。

（二）函数相同的判别方法：

函数是否相同，看定义域和对应法则。

例5．（课本P18例2）下列函数中哪个与函数y=x相等？

（1）y(x)2；

（2）y3x3；

x2（3）yx；

（4）

y

x三）课堂练习：

1．课本

P19练习1，3；

2．求函数y＝－x2＋4x－1 ，x∈[-1,3) 的值域。

归纳小结：

本堂课讲授了函数定义域的求法以及判断函数相等的方法。

2

作业布置：

习题1.2A组，第1，2；

课后记: 课题：函数的表示法（一）

课

型：新授课

教学目标：

（1）掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点；

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

教学难点：分段函数的表示及其图象。

教学过程：

一、复习准备：

1．提问：函数的概念？函数的三要素？

2．讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明. 二、讲授新课：

（一）函数的三种表示方法：

结合课本P15

给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点：

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（1）；

优点：简明扼要；给自变量求函数值。

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）；

优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（3）；

优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图；

列车时刻表；银行利率表等。

例1．（课本P19

例3）某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．

例2：（课本P20

例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

第六次

98 87 91 92 88 95 甲

90 76 88 75 86 80 乙

68 65 73 72 75 82 丙

班平均88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 分

请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．

（二）分段函数的教学：

分段函数的定义：

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如以下的例3的函数就是分段函数。

说明：

（1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确

定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；

（2）．分段函数只是一个函数，只不过x的取值范围不同时，对应法则不相同。

例3：（课本P21

例6）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）5公里以内（含5公里），票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。

2x3,x(,0)例4．已知f(x)＝2，求f(0)、f[f(-1)]的值

2x1,x[0,)（三）课堂练习：

1．课本P23

练习1，2；

2．作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）。试用三种方法表示此实例中的函数。

3．某水果批发店，100kg内单价1元／kg，500kg内、100kg及以上0.8元／kg，500kg及以上0.6元／kg。试用三种方法表示批发x千克与应付的钱数y（元）之间的函数y=f(x)。

归纳小结：

本节课归纳了函数的三种表示方法及优点；讲述了分段函数概念；了解了函数的图象可以是一些离散的点、线段、曲线或射线。

作业布置：

课本P24习题1.2 A组第8，9题；

课后记: 课题：函数的表示法（二）

课

型：新授课

教学目标：

（1）了解映射的概念及表示方法；

（2）掌握求函数解析式的方法：换元法，配凑法，待定系数法，消去法，分段函数的解析式。

教学重点：求函数的解析式。

教学难点：对函数解析式方法的掌握。

教学过程：

一、复习准备：

1．举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：

对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；

对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；

对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；

2．讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？

3．导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping）。

二、讲授新课：

（一）

映射的概念教学：

定义：

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）。记作：

f:AB

讨论：映射有哪些对应情况？一对多是映射吗？

例1．（课本P22例7）以下给出的对应是不是从A到集合B的映射？

（1）

集合A={P | P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

（2）

集合A={P | P是平面直角坐标系中的点}，B= (x,y)xR,yR，对应关系f：

平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

（3）

集合A={x | x是三角形}，集合B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

（4）

集合A={x | x是新华中学的班级}，集合B={x | x是新华中学的学生}，对应关系：每一个班级都对应班里的学生。

例2．设集合A={a,b,c}，B={0,1} ，试问：从A到B的映射一共有几个？并将它们分别表示出来。

（二）求函数的解析式：

常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。

例3．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。

（待定系数法）

例4．已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法）

1例5．已知函数f(x)满足f(x)2f()x，求函数f(x)的解析式。（消去法

x例6．已知f(x)x1，求函数f(x)的解析式。

（三）课堂练习：

1．课本P23练习4；

1x1x2)

2．已知

f(，求函数f(x)的解析式。

21x1x11

3．已知f(x)x22，求函数f(x)的解析式。

xx

4．已知f(x)2f(x)x1，求函数f(x)的解析式。

归纳小结：

本节课系统地归纳了映射的概念，并进一步学习了求函数解析式的方法。

作业布置：

1．

课本P24习题1.2B组题3，4；

2．

阅读P26

材料。

课后记: 课题：函数的表示法（三）

课

型：新授课

教学目标：

（1）进一步了解分段函数的求法；

（2）掌握函数图象的画法。

教学重点：函数图象的画法。

教学难点：掌握函数图象的画法。。

教学过程：

一、复习准备：

1．举例初中已经学习过的一些函数的图象，如一次函数，二次函数，反比例函数的图象，并在黑板上演示它们的画法。

2. 讨论：函数图象有什么特点？

二、讲授新课：

例1．画出下列各函数的图象：

（1）f(x)2x2　　(2x2)

（2）f(x)2x24x3　　(0x3)；

例2．（课本P21例5）画出函数f(x)x的图象。

例3．设x,，求函数f(x)2x13x的解析式，并画出它的图象。

变式1：求函数f(x)2x13x的最大值。

变式2：解不等式2x13x1。

例4．当m为何值时，方程x24x5m有4个互不相等的实数根

变式：不等式x24x5m对xR恒成立，求m的取值范围。

（三）课堂练习：

1．课本P23练习3；

1(0x1)，　

2．画出函数f(x)x的图象。

(x1)x，　归纳小结：

函数图象的画法。

作业布置：

课本P24习题1.2A组题7，B组题2；

课后记: 课题：函数及其表示复习课

课

型：复习课

教学目标：

（1）会求一些简单函数的定义域和值域；

（2）掌握分段函数、区间、函数的三种表示法；

（3）会解决一些函数记号的问题．

教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题。

教学难点：对函数记号的理解。

教学过程：

一、基础习题练习：（口答下列基础题的主要解答过程

→

指出题型解答方法）

1．说出下列函数的定义域与值域：

y2．已知f(x)81；

yx24x3；

y2；

x4x33x51，求f(2)，

f(f(3))，

f(f(x))；

x1

0(x0)3．已知f(x)(x0)，

x1(x0)（１）作出f(x)的图象；

（２）求f(1),　f(1),　f(0),　f{f[f(1)]}的值

二、讲授典型例题：

例１．已知函数f(x)=4x+3，g(x)=x2,

求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]．

例2．求下列函数的定义域：

（１）y(x1)0x24；

（２）y2；

x2x3xx2的定义域为Ｒ，求实数a的取值范a1例３．若函数y(a21)x2(a1)x围．

（a1,9）

例４．

中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1,y2（元）．

（１）．写出y1,y2与x之间的函数关系式？

（２）．一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？

（３）．若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

三．巩固练习：

11．已知f(x)=x2x+3 ，求：f(x+1)，

f()的值；

x2．若f(x1的解析式；

）x2x,求函数f(x）3．设二次函数f(x)满足f(x2)f(2x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．

４．已知函数f(x)3x1的定义域为Ｒ，求实数a的取值范围．

ax2ax33归纳小结：

本节课是函数及其表示的复习课，系统地归纳了函数的有关概念，表示方法．

作业布置：

3．

课本P２４习题1.２

B组题１，３；

4．

预习函数的基本性质。

课后记: