3.4.1 函数与方程教学设计案例

函数的零点

1. 理解函数零点的概念、函数零点与方程根的关系以及函数零点的性质．

2. 了解用二分法求方程近似解的过程，能判断函数零点所在区间．

3. 理解函数方程、数形结合、分类讨论等数学思想方法．

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题组一

确定函数零点或零点的个数

x＋1，

x≤0，

1. 已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的所有零点构成的集合为log2x，

x>0，________________．

2. 函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)上的零点个数是________.

x2，

x≤0，

1. 设函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))－1的零点个数为________．

log2x，

x>0，

题组二

判断函数零点所在区间或零点的大小关系

1. 若方程2x＋x＝4的解所在区间为[m, m＋1](m∈Z)，则m＝________．

2. 已知函数f(x)＝x－x－1，g(x)＝2x＋x，h(x)＝x＋ln

x的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为____________．

log2（x＋1），0≤x<1，

1. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝则函|x－3|－1，

x≥1，1数g(x)＝f(x)－的所有零点之和为________．

2

题组三

利用函数零点求参数的值或取值范围

1. 若函数f(x)＝x2＋2a|x|＋4a2－3的零点有且只有一个，则实数a＝________．

2. 已知函数f(x)＝x2＋mx－|1－x2|(m∈R)，若f(x)在区间(0，2)上有且只有一个零点，则实数m的取值范围是______________．

1. 已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1. (1) 若a为整数，且函数f(x)在区间(－2，－1)上恰有一个零点，求a的值；

(2) 若a为正数，且关于x的方程f(x)＝0的两根均在区间(0，2)上，求a的取值范围．

e2

2. 已知函数f(x)＝－x＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．

x2(1) 若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；

(2) 试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个不相等的实根．

冲刺强化训练(17)

1

1. 函数f(x)＝－ln x的零点个数为________．

x

2. 若函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点为x0，则满足k≤x0的最大整数k＝________．

3. 若关于x的方程3tx2＋(3－7t)x＋4＝0的两个根α，β满足0<α<1<β<2，则实数t的取值范围是________．

1x32＋，x≥2，4

4. 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数log2x，

0

x2－1，

x>0，

5. 若函数f(x)＝2实数m∈(0，1)，则函数g(x)＝f(x)－m有______－x－2x，

x≤0，个零点．

11

6. 已知关于x的方程a4－2＋2＝0在区间[－1，0]上有实数根，则实数a的取值范围是________．

7. 若函数f(x)＝|x＋a|－1－x2有且只有一个零点，则实数a＝________．

sin

πx，

x≥0，5－＋f(m)＝－1，且1

8. 已知f(x)＝若f6f（x＋1）－1，

x<0，xx________．

1a

9. 已知关于x的方程x－＝0有两个不相等的非零实数根，则实数a的取值范围是ex________．

10. 已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋a在x∈R上有三个零点，则实数a的取值范围是________.

11. 函数f(x)＝(x－1)sin

πx－1(－1

12. 已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝1－3，

x>2，－24x1－x2，

0≤x≤2，4

7a若关于x的方程[f(x)]2＋af(x)＋＝0(a∈R)有且仅有八个不同的实数根，则实数a的取值范16围是________．

13. 已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x.若在区间[－1，3]上，函数f(x)＝kx＋k＋1(k∈R且k≠1)有4个零点，则k的取值范围是________．

14. 若关于x的方程|ex－3x|＝kx有四个实数根，则实数k的取值范围是________．

115. 已知函数f(x)＝a－－ln x(a∈R)．

x(1) 若a＝2，求函数f(x)在区间(1，e2)上的零点个数(e为自然对数的底数)；

(2) 若函数f(x)恰有一个零点，求实数a的取值集合．