2.1.1 函数的概念和图象教学内容概述

1.2

函数及其表示

1.2.1

函数的概念

课后篇巩固提升

基础巩固

1.函数f(x)=A.[-1,1) C.[-1,+∞) 解析由

的定义域是(

) B.[-1,1)∪(1,+∞) D.(1,+∞)

解得x≥-1,且x≠1.

答案B 2.已知M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数f(x)的定义域为M,值域为N,则f(x)的图象可以是(

)

解析A项中函数的定义域为[-2,0],C项中对任一x都有两个y值与之对应,D项中函数的值域不是[0,2],均不是函数f(x)的图象.故选B. 答案B 3.(2018山东青岛二中高一期中)下列四个函数:①y=x+1;②y=x-1;③y=x2-1;④y=,其中定义域与值域相同的是(

) A.①②③

B.①②④

C.②③

D.②③④

解析①y=x+1,定义域为R,值域为R,②y=x-1,定义域为R,值域为R,③y=x2-1,定义域为R,值域为[-1,+∞),④y=,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,0)∪(0,+∞),故①②④的定义域与值域相同.

答案B 4.已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系式为y=10-2x,则此函数的定义域为

(

)

A.R

C.{x|00} D.

解析△ABC的底边长显然大于0, 即y=10-2x>0, ∴x<5.

又两边之和大于第三边, ∴2x>10-2x,x>.

故此函数的定义域为答案D 5.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=A.[0,1)∪(1,2] C.[0,1) 解析由题意,得B.[0,1)∪(1,4] D.(1,4] 即0≤x<1.

的定义域是(

) .

答案C 6.函数f(x)=x2-2x,x∈{-2,-1,0,1}的值域为

.

解析因为f(-2)=(-2)2-(-2)=6,f(-1)=(-1)2-2×(-1)=3,f(0)=02-2×0=0,f(1)=12-2×1=-1.所以f(x)的值域为{6,3,0,-1}.

答案{6,3,0,-1} 7.若函数f(x)满足f(2x-1)=x+1,则f(3)=

.

解析令2x-1=3,则x=2,故f(3)=2+1=3.

答案3 8.若函数f(x)=ax2-1,a为正常数,且f(f(-1))=-1,则a的值是

.

解析∵f(-1)=a·(-1)2-1=a-1,f(f(-1))=a·(a-1)2-1=a3-2a2+a-1=-1.∴a3-2a2+a=0,∴a=1或a=0(舍去).故a=1.

答案1 9.求函数y=的定义域,并用区间表示.

解要使函数有意义,则解得

即-2≤x≤3,且x≠.

故函数的定义域为用区间表示为.

, 10.已知函数f(x)=.

(1)求f(x)的定义域; (2)若f(a)=2,求a的值; (3)求证:f=-f(x).

(1)解要使函数f(x)=有意义,只需1-x2≠0,解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.

(2)解因为f(x)=,且f(a)=2, 所以f(a)==2,即a2=,解得a=±.

(3)证明由已知得f, -f(x)=-,所以f=-f(x).

能力提升

1.下列对应关系是从A到B的函数的个数为(

) (1)A=[-1,1],B={0},f:x→y=0; (2)A={1,2,3},B={甲,乙},对应关系如图①所示; (3)A={1,2,3},B={4,5,6},对应关系如图②所示.

A.1 B.2 C.3 D.0 解析(1)对于集合A中的任意一个实数x,按照对应关系f:x→y=0,在集合B中都有唯一确定的数0与它对应,故是集合A到集合B的函数; (2)集合B不是数集,故不是A到B的函数; (3)集合A中的元素3在B中没有对应元素,且A中的元素2在B中有两个元素5和6与之对应,故不是A到B的函数.

综上可知,对应关系(1)是从A到B的函数,故选A.

答案A 2.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,例如解析式为y=2x2+1,值域为{9}的“孪生函数”有三个: ①y=2x2+1,x∈{-2};②y=2x2+1,x∈{2};③y=2x2+1,x∈{-2,2}.

那么函数解析式为y=2x2+1,值域为{1,5}的“孪生函数”共有(

) A.5个

B.4个

C.3个

D.2个

解析y=2x2+1,值域为{1,5}的孪生函数,分别为:①y=2x2+1,x∈{0,};②y=2x2+1,x∈{0,-③y=2x2+1,x∈{0,,-}共3个,故选C.

答案C 3.若f(x)=解析由f(a)=,且f(a)=2,则a=

.

=2,得2a2-5a+2=0, };解得a=或a=2.

答案或2 4.已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],则函数y=f(2x-1)的定义域为

.

解析因为函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2], 即1≤x≤2,所以3≤2x+1≤5.

所以函数y=f(x)的定义域为[3,5].

由3≤2x-1≤5,得2≤x≤3, 所以函数y=f(2x-1)的定义域为[2,3].

答案[2,3] 5.(1)y=(2)y=2x-的值域为

.

的值域为

.

=2+,显然≠0,故y≠2.

解析(1)(分离常数法)y=故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).

(2)(换元法)令t=,则x=t2+1,且t≥0, ∴y=2(t2+1)-t=2.

.

由t≥0,再结合函数的图象(如图所示),可得函数的值域为

答案(1)(-∞,2)∪(2,+∞)

(2)

6.已知函数f(x)=x2-2x,x∈[0,b],且该函数的值域为[-1,3],求b的值.

解作出函数f(x)=x2-2x(x≥0)的图象如图所示.

由图象结合值域[-1,3]可知,区间右端点b必为函数最大值3的对应点的横坐标.所以f(b)=3,即b2-2b=3,解得b=-1或b=3.又-1∉[0,b],所以b=3.

7.已知函数f(x)=(1)求f(1),f(2)+f

(2)证明:f(x)+f.

的值; 等于定值; +f+…+f的值.

(3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)+f(1)解f(1)=; f(2)=所以f(2)+f,f=1.

, (2)证明f, 所以f(x)+f(3)解由(2)知,f(x)+f=1.

=1,为定值.

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)+f=f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f+…+f

=.

+…+f(2 019)+f8.若函数f(x)=的定义域为R,求m的取值范围.

解要使原函数有意义,必须mx2+mx+3≠0.

由于函数的定义域是R,故mx2+mx+3≠0对一切实数x恒成立.

①当m=0时,3≠0恒成立,故m=0满足条件; ②当m≠0时,有Δ=m2-12m<0,解得0

故由①②可知m的取值范围是[0,12).