2.2.1 函数的单调性第二课时 公开课

2.2

函数的简单性质

2.2.1

函数的单调性

第1课时

函数的单调性

【课标要求】

1．理解函数的单调性及其几何意义；

2．会判断一些简单函数的单调性；

3．会证明一些简单函数的单调性．

【核心扫描】

1．判断和证明一些简单函数的单调性．(重点) 2．函数单调性及其几何意义的理解．(难点)

自学导引

1．设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有

，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增(减)函数，I称为y＝f(x)的单调增(减)区间．

想一想：函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，其图象有何特点？

提示

函数y＝f(x)在区间I上图象由低(高)到高(低)是上升(下降)的．

2．如果一个函数在某个区间I上是增减函数，就说这个函数在这个区间I上具有

，区间I称为单调区间．

试一试：函数单调区间I与其定义域A有何关系，函数的单调性是函数的整体性质还是局部性质？

提示

I⊆A，函数的单调性是函数的局部性质，函数在其定义域未必具有单调性．

名师点睛

1．函数的单调性是函数在某个区间上的整体性质．

①这个区间可以是整个定义域，如y＝2x在整个定义域(－∞，＋∞)上是增函数，y＝－2x在整个定义域(－∞，＋∞)上是减函数；

②这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2＋1在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数.

2．并不是所有的函数都具有单调性，有的函数不具有单调性，还有的函数没有单调区间，或者它的定义域根本就不是区间，如y＝2是常数函数且定义域为R，函数值不随x的变化而变化，因此它不具有单调性，再如y＝x2，x∈{0,1,2}，定义域就不是区间，当然也就没有单调性．

3．x1，x2的三个特征一定要予以重视，函数单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性，即任意取x1，x2中“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；1

二是有大小，通常规定x1＜x2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．

4．若函数y＝f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增(减)函数，一般不能简单地认为y1＝f(x)，在A∪B上是增(减)函数，如f(x)＝，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减x函数，但不能说它在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，因为在定义域(－∞，0)∪(0，1＋∞)上函数y＝的图象从左向右看不是下降的．事实上，取x1＝－1＜1＝x2，有f(－1)＝－x1＜1＝f(1)．不符合减函数的定义. 例题精讲

题型一

图象法求单调区间

【例1】

求函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调区间．

[思路探索]

含绝对值的函数求其单调性，应先去掉绝对值，然后根据图象或性质求出单调区间．

2－x＋2x＋2解

y＝－x＋2|x|＋3＝2－x－2x＋xx＜，－即y＝－，

x－x＋22＋xx＜，＋

图象如下图所示．

由图知，在(－∞，－1]和[0,1]上函数是增函数，在[－1,0]和[1，＋∞)上是减函数，即函数的单调增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．

规律方法

(1)求函数的单调区间，能画出图象的画出图象，不能画出图象时，再考虑用单调性的定义．(2)在书写增区间(或减区间)时，中间不能用“∪”来连接．

【训练1】

求函数f(x)＝|x＋1|－|2x－4|的单调区间．

x－5，x＜－1，解

f(x)＝|x＋1|－|2x－4|＝3x－3，－1≤x＜2，5－x，x≥2.

画出函数图象如下图所示，由图象可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，2]，单调递减区间为[2，＋∞)．

题型二

证明函数的单调性

1【例2】

证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．

x[思路探索]

证明函数的单调性，可根据定义进行证明．

解

设0＜x1＜x2＜1，则

2

x2－x1111f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)(1－)＝x1x2x1x2x1x2x1－x2x1x2－x1x2. 已知0＜x1＜x2＜1，则x1x2－1＜0，x1－x2＜0，x1x2>0.即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．

1∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．

x规律方法

根据定义证明函数的单调性可按如下步骤进行：

(1)取值．即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2；

(2)作差变形．即作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，使其转化为易于判断正负的式子；

(3)定号．即确定f(x1)－f(x2)的符号；

(4)判断．即根据定义得出结论．其中第二步是关键，在变形中一般尽量化成几个最简因式的积或几个完全平方的形式．

【训练2】

求证函数f(x)＝－在定义域上是减函数．

证明

∵f(x)＝－x的定义域为[0，＋∞)，∴设0≤x1＜x2，则x2－x1＞0. f(x2)－f(x1)＝(－x2)－(－x1)＝x1－x2＝x1－x2x1＋x2x1＋x2＝x1－x2. x1＋x2∵x1－x2＜0，x1＋x2＞0，∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．

∴f(x)＝－x在它的定义域[0，＋∞)上是减函数．

题型三

讨论函数的单调性

a【例3】

(14分)讨论函数f(x)＝x＋(a＞0)的单调性．

x审题指导

本题考查函数单调性的定义以及应用定义讨论函数的单调性．

a【题后反思】

由函数f(x)＝x＋(a＞0)的单调性及f(x)在其单调区间的端点处取值的趋势，x3

可作出函数y＝f(x)的图象如下图所示，反过来利用图象可以形象地记忆该函数的单调性及其他有关性质．

【训练3】

讨论y＝ax(－1＜x＜1，a≠0)的单调性．

x－12

解

设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝ax1ax2a－2＝2x1－1x2－1x2－x1x21－x1x2＋x22－. 2∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x21－1＜0，x2－1＜0，x1x2＋1＞0. 当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，此时，f(x)为减函数；

当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，此时，f(x)为增函数．

综上可知，当a＞0时，f(a)＝ax在(－1,1)上为减函数，

x－12ax当a＜0时，f(x)＝2在(－1,1)上为增函数．

x－1方法技巧

复合函数的单调性的判断

对于复合函数单调性的判断，以复合函数y＝f(g(x))为例，可按下列步骤操作：

(1)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)；

(2)分别确定各个函数的定义域；

(3)分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；

(4)若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数，若为一增一减，则y＝f(g(x))为减函数．

【示例】

试判断函数y＝1－x2在[－1,1]上的单调性．

[思路分析]

把y＝1－x2分解成两个基本初等函数u＝1－x2，y＝u，再分别判断它们的单调性．

解

令u＝1－x2，则y＝u.当0≤x≤1时，u关于x递减，而y关于u递增，∴y关于x递减；

当－1≤x＜0时，u关于x递增，而y关于u递增，∴y关于x递增．

故函数y＝1－x2在[－1,0)上为单调递增函数，在[0,1]上为单调递减函数．

方法点评

复合函数单调性的判断方法可以从下表中得到：

4

u＝g(x)

↑

↑

↓

↓

y＝f(u)

↑

↓

↓

↑

y＝f [g(x)]

↑

↓

↑

↓

5

课后检测作业

2.2.1.1函数的单调性

双基达标

限时15分钟

1．函数f(x)在R上是增函数，则f(3)与f(5)的大小关系是________．

解析

根据增函数的定义直接作答．答案

f(3)＜f(5) 2．若函数f(x)在实数集R上是减函数，则f(π)与f(3)的大小关系是________．

解析

根据减函数的定义直接作答．答案

f(π)＜f(3) 3．若函数f(x)在实数集R上是增函数，且f(x)＞f(1－x)，则x的取值范围是________．

11解析

根据增函数的定义有x＞1－x，解得x＞.答案

{x|x＞} 22

4．函数y＝x2的单调减区间是________．

解析

根据函数y＝x2的图象直接作答．答案

(－∞，0) 5．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是________．

22①y＝－x＋1

②y＝－

③y＝x2－4x＋5

④y＝

xx解析

结合函数的图象可知①③④在区间(0,2)上均为减函数．答案

②

6．(1)证明函数f(x)＝3x＋2在R上是增函数；

1(2)证明函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．

x证明

(1)设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则

f(x1)－f(x2)＝(3x1＋2)－(3x2＋2)＝3(x1－x2)，

由x1＜x2，得x1－x2＜0，于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

∴f(x)＝3x＋2在R上是增函数．

(2)设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，

11x2－x1则f(x1)－f(x2)＝－＝，∵00，x1x2>0.于是f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)x1x2x1x21＞f(x2)．∴f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．

x6

综合提高

限时30分钟

17．函数y＝＋2的单调递减区间是________．

x解析

作出图象如图，结合图象可知单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．

答案

(－∞，0)，(0，＋∞)

8．若函数f(x)的图象如右图，则其单调递增区间是________．

解析

单调递增即图象是上升的部分，即为(－∞，－1)和(1,4)．答案

(－∞，－1)，(1,4) 9．给出下列说法：(1)若定义在R上的函数f(x)满足f(3)＞f(2)，则函数f(x)在R上单调递增；(2)若定义在R上的函数f(x)满足f(3)＞f(2)，则函数f(x)在R上不可能单调递减；(3)x＋1，x≥05函数f(x)＝－在(－∞，0)∪(0，＋∞)单调递增；(4)函数f(x)＝2在定义域R3x－x＋1，x＜0

上是增函数．其中正确说法的序号是________．

解析

逐一判断．由增函数的定义可知(1)错误；由减函数的定义可知(2)正确；(3)函数f(x)5＝－在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递增，故错误；作出函数图象如图，由图象可知(4)正确．

3x答案

(2)(4) 10．函数f(x＋1)＝x2－2x＋1的定义域是[－2,0]，则f(x)的单调递减区间是________．

解析

因为f(x＋1)＝x2－2x＋1，所以f(t)＝(t－2)2，t∈[－1,1]，即f(x)＝(x－2)2，x∈[－1,1]，7

作出图象如图，结合图象可知[－1,1]是函数f(x)的减区间．答案

[－1,1] 2x＋1，x≤0111．画出下列函数图象，并写出单调区间：(1)函数y＝－；

(2)f(x)＝

x－2x＋2，x＞0

解

作出图象如图1，(－∞，0)和(0，＋∞)是两个单调增区间．

(2)作出图象如图2，(－∞，0)和(0，＋∞)是两个单调减区间．

图1

图2 12．判断函数f(x)＝kx＋b(k≠0)在R上的单调性，并说明理由．

解

设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)．

若k＞0，又x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)＝kx＋b在R上是增函数．

若k＜0，又x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)＝kx＋b在R上是减函数．

ax＋1113．(创新拓展)讨论函数f(x)＝(a≠)在(－2，＋∞)上的单调性．

2x＋2ax＋1ax＋2a＋1－2a1－2a解

f(x)＝＝＝1＋，

x＋2x＋2x＋2设－2＜x1＜x2，则(x2＋2)(x1＋2)＞0，x2－x1＞0，

∴f(x2)－f(x1)＝1－2a1－2ax1－x2－＝(1－2a)x2＋2x1＋2x2＋x1＋，∵x1－x2x2＋x1＋＜0 ax＋111当a＜时，f(x2)＜f(x1)，此时函数f(x)＝(a≠)在(－2，＋∞)上是单调减函数；

22x＋2ax＋111当a＞时，f(x2)＞f(x1)，此时函数f(x)＝(a≠)在(－2，＋∞)上是单调增函数．

22x＋2

8

2.2

函数的简单性质

2.2.1

函数的单调性

第1课时

函数的单调性

【课标要求】

1．理解函数的单调性及其几何意义；

2．会判断一些简单函数的单调性；

3．会证明一些简单函数的单调性．

【核心扫描】

1．判断和证明一些简单函数的单调性．(重点) 2．函数单调性及其几何意义的理解．(难点)

自学导引

1．设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有

，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增(减)函数，I称为y＝f(x)的单调增(减)区间．

想一想：函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，其图象有何特点？

2．如果一个函数在某个区间I上是增减函数，就说这个函数在这个区间I上具有

，区间I称为单调区间．

试一试：函数单调区间I与其定义域A有何关系，函数的单调性是函数的整体性质还是局部性质？

例题精讲

题型一

图象法求单调区间

【例1】

求函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调区间．

【训练1】

求函数f(x)＝|x＋1|－|2x－4|的单调区间．

题型二

证明函数的单调性

1【例2】

证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．

x

【训练2】

求证函数f(x)＝－x在定义域上是减函数．

9

题型三

讨论函数的单调性

a【例3】

(14分)讨论函数f(x)＝x＋(a＞0)的单调性．

x

【训练3】

讨论y＝

【示例】

试判断函数y＝1－x2在[－1,1]上的单调性．

10

ax(－1＜x＜1，a≠0)的单调性．

x－12

课后检测作业

2.2.1.1

函数的单调性

双基达标

限时15分钟

1．函数f(x)在R上是增函数，则f(3)与f(5)的大小关系是________．

2．若函数f(x)在实数集R上是减函数，则f(π)与f(3)的大小关系是________．

3．若函数f(x)在实数集R上是增函数，且f(x)＞f(1－x)，则x的取值范围是________．

4．函数y＝x2的单调减区间是________．

5．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是________．

22①y＝－x＋1

②y＝－

③y＝x2－4x＋5

④y＝

xx6．(1)证明函数f(x)＝3x＋2在R上是增函数；

1(2)证明函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．

x

综合提高

限时30分钟

17．函数y＝＋2的单调递减区间是________．

x

8．若函数f(x)的图象如右图，则其单调递增区间是________．

9．给出下列说法：(1)若定义在R上的函数f(x)满足f(3)＞f(2)，则函数f(x)在R上单调递增；(2)若定义在R上的函数f(x)满足f(3)＞f(2)，则函数f(x)在R上不可能单调递减；(3)x＋1，x≥05函数f(x)＝－在(－∞，0)∪(0，＋∞)单调递增；(4)函数f(x)＝2在定义域R3x－x＋1，x＜0

上是增函数．其中正确说法的序号是________．

11

10．函数f(x＋1)＝x2－2x＋1的定义域是[－2,0]，则f(x)的单调递减区间是________．

11．画出下列函数图象，并写出单调区间：

1(1)函数y＝－；

x2x＋1，x≤0(2)f(x)＝

－2x＋2，x＞0

12．判断函数f(x)＝kx＋b(k≠0)在R上的单调性，并说明理由．

ax＋1113．(创新拓展)讨论函数f(x)＝(a≠)在(－2，＋∞)上的单调性．

2x＋2

12