3.3 幂函数教学设计第二课时

2．4幂函数(第一课时) 教学目标：

1．通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用；

2．能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质；

3．体会幂函数变化规律及蕴含其中的对称性，感悟数学的美，培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。

教学难点：画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象变化的规律。

教学过程：

一、

问题情景

我国著名数学家华罗庚先生在其《数学的用场与发展》中指出：“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”

在我们的周围，处处都有数学的影子，下面我们一起来看一组我们生活中的问题。

问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，那

么她需要付的钱数y(元)和购买的蔬菜量x(千克)之间有何关系？(y=x) 问题2：如果正方形的边长为x，那么正方形面积y＝

？(y=x2) 问题3：如果正方体的边长为x，那么正方体体积y＝

？(y=x3) 问题4：如果正方形场地的面积为x，那么正方形的边长y＝

？(yxx) 问题5：如果某人x秒内骑车行进1km，那么他骑车的平均速度y＝

？(y1x1) x12通过观察，提问：你能发现这几个函数解析式有什么共同点吗?你能举出几个例子吗？

（学生讨论，类比指、对数函数定义，由学生给出幂函数定义）

二、构建数学

一般地，形如

y = x a (a∈R),的函数称为幂函数，其中a为常数．

总结归纳：幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种用“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．

提问：幂函数与指数函数的解析式一样吗？

（学生讨论）总结归纳：

相同点：幂函数与指数函数的解析式均为指数式形式。

不同点：幂函数的输入值为指数式的底数，其指数为常数；而指数函数的输入值为指数式的指数，其底数为大于0而不等于1的常数。

感悟概念：

判断下列函数哪些是幂函数？

(1) y=0.2

(2) y=x

(3) y=x

-1

(4)y=x

- 2

(5) y=2x2

(×，√，√，√，×)

三、数学运用

例１．写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性。

(1) y=x

3

定义域

R ，奇偶性是奇函数．

(2) y=x

定义域

{x|x≥0} ，奇偶性是既不是奇函数也不是偶函数．

(3)y=x

– 2定义域

{x|x≠0} ，奇偶性是偶函数．

课堂练习

1．下列函数中,定义域为的

[0,+∞

) 是

(

B

) (A) y=x

(B) y=x

(C) y=x

– 1

(D) y=x

3

212x12122．若幂函数y＝f(x)的图象经过点(3, 27 )，则f(2)＝

8

根据函数的解析式，我们可以得到函数的某些性质，但要能更直观地去了解一个函数，作出函数的图像是很有效的手段。

1．试在坐标系中画出y=x

2

，y=x

3

，y=x的图象。

(学生利用已发的作图纸作图，教师行间巡视，找出典型问题，利用视频展示台进行展示) 教师多媒体展示y=x

，y=x

，y=x以及y=x的图象。总结函数的共性：

(1)图象都过（0，0）点和（1，1）点；

(2)在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在[0，+∞)上是增函数。

师：通过以上的讨论，我们发现对于α的四个不同取值，我们发现了共性，那么这一性质我们能否做一推广？

生：推广至α>0情形。

师：我们通过对指数α取四个不同正数时，幂函数性质的进行研究发现的，但这一性质性质在使用前，必须对其进行证明。性质(1)很容易证明如何去证明函数在[0,+ +∞)上是单调递增的？( 使用[0，+∞) 还是(0,+ +∞)根据学生情况而定) 证明过程(可由学生板演) 证明：(1)设00) f(x1)x1x(1)，

f(x2)x2x21223120x1x2,00,(x11

x2x1xf(x))(1)01,即11,x2x2f(x2)

f(x2)0,f(x1)f(x2)

(2)设0=x10)

显然f(x1)f(x2)

综上所得，对任意的0x1x2，都有f(x1)f(x2)

∴函数yx(α>0)在[0,+ +∞)上是单调递增的. 2．试在标系中画出y=x

-1

，y=x

-2的图像。

(学生作图，教师巡视，展示台展示典型问题) 归纳：函数yx(α<0)的性质。

（1）图象都过（1，1)点；

（2）在第一象限内，函数值

随x

的增大而减小，即在（0，+∞）上是减函数。

（3）在第一象限，图象向上与y 轴无限接近，向右与

x

轴无限接近。

例2：比较下列各组数的大小

(1)1.3____1.4123232(2)0.261_____0.271(4)(5.2)2_____(5.3)2(3)0.7_____0.72（<，>，>，>）

解后反思：两个数比较大小，何时用幂函数模型，何时用指数函数模型？

拓展延伸：试写出函数y=x四、课堂小结：

1．幂函数概念，常见幂函数的图像，幂函数图像变化情况和性质；

2．应用常见幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小。

3．数形结合，从特殊到一般的数学思想。

五、布置作业：

基础作业：

《课本》P73

EX 1, 2, 3 研究性作业：完成下列表格。(对于α>1与0<α<1的分类，此时出现有些23的定义域并指出其奇偶性。

突然，最好学生在作函数y=x

，y=x

，y=x以及y=x的图象后，观察函数性质时，有学生提出α>1与0<α<1的图像是有区别的，为此时出现作一铺垫，正好留作课后研究。) 2312yx

α>1 1.50<α<1

α<0

奇函数

0.5-2-1

-4-2-0.5-1-1-2-1.5-3-2y=f(x2.5偶函数

-2-11.5

1.81.61.41.2-4-2

0.5-0.5-1-1

非奇非偶

-0.50.80.60.4

0.51.52.5

0.2-0.2-0.4-0.6