习题2.2国家获奖教案

§2.2.2 对数函数（习题课）

学习目标

1. 掌握对数函数的性质；

2. 能应用对数函数解决实际中的问题.

基础知识要点

1. 对数函数y=logax的图像和性质：

图像的特征

（1）图像都在y轴的右侧

（2）函数图像都经过点(1,0)

函数的性质

（1）定义域是(0,+?)

（2）1的对数是0 （3）从左向右看，当a>1时，图像逐

（3）当a>1时，y=logax是增函数，

渐上升；当0

（4）当a>1时，函数图像在(1,0)右边

的纵坐标都大于0，在(1,0)左边的纵坐标

都小于0；当0

当0

（4）当a>1时，x>1，则logax>0，

0

当01，则logax<0，

(1,0)右边的纵坐标都小于0，在(1,0)左

边的纵坐标都大于0；

00

2. 在同一坐标系中作出y=log2x和y=log1x两个函数的图像，经研究发现，他2们的图像关于x轴对称。

3. 对于函数y=logax，当a>1时，a值越大，y=logax的图像在第一象限内越靠近x轴；当0

4. 对于底数不同的对数函数值的大小，要分情况进行：当真数相同底数不同时，就根据图像的特征，依据不同图像间的关系，看底数是否大于1，真数是大于1还是大于0小于1，比如log23log0.63；当真数不同底数也不同时，可以通过中间值“0”或“1”去比较大小。如log0.50.3>log1.50.5，因为log1.50.5<0，log0.50.3>0。

5. 复合函数单调性的判断：同增异减。

典型例题

例1 求下列函数的定义域. （1）y=logax2；（2）y=log3(1-x)；3）y=log3x

解析：利用对数函数y=logax的定义域为(0,+?)这一限制条件，列出不等式组。1）若函数解析式中含有分母，则分母不为0；2）若函数解析式中含有根式，要注意偶次根号下非负；3）0的0次幂无意义；4）若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0，底数大于0且不等于1. 解：（1）（2）略 ìx>0ïï（3）由题意，要使函数有意义，必有í，即x³1。

ïlogx³03ïî所以所求函数的定义域为{x|x³1}. 例2 求下列函数的定义域和值域：

（1）y=2-x2-1-1；（2）y=log2(x2+2x+5)

4-x2-1解：（1）要使函数有意义，必有2-1?0，即-x2-1?42?-1＃x1。

所以定义域是[-1,1]。因为-1＃x1，所以-1?x2?0，从而1?0，即0＃y41。

2-2?x2-1?1221-x2-11，＃2411-x2-1，所以?224所以值域是[0,]。

（2）因为x+2x+5=(x+1)+4?4对一切实数都恒成立，所以函数的定义域是R；从而log2(x+2x+5)?log24222，所以值域是[2,+?)。

例3 比较log20.7与log10.8的大小。

3解析：题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”

作为中间量，本题选择的中间量是0. 解：因为log20.7log11=0，

33所以log20.7<0

3例4 已知集合A={x|2＃x值与最小值的差是1，求a的值。

p}，定义在集合A上的函数y=logax的最大解析：定义在集合A上的函数y=logax的最大值与最小值与a的值有关，需对a的值进行分类讨论。

解：当0

2Q0

222，

p当a>1时，由题意得logap-loga2=1，\a=Q22p2>1，\a=符合题意。 综上所述，a=或a=。

pp2p点评：当题中出现参数时，首先考虑参数的取值范围，然后对参数进行分类讨论，最后要做适当的总结。

课后作业

2.函数y=log2x+2(x?1)的值域是（ ）

A.(2,+?) B.(-?,2) C. [2,+?) D.[3,+?)

3.不等式log4x>1的解集是（ ）

21212A.(2,+?) B.(0,2) C. (,+?) D. (0,)

4. 函数y=log2(3x-2)的定义域是 ；

5. 函数y=lg(x2+8)的定义域是 ，值域是 。

6. 比较大小：1）log67 log76；2）log31.5 log20.8。

7. 将0.3，

log20.5，log0.51.5由小到大的顺序排列是 。8. 函数y=logax在[2,4]上的最大值比最小值大1，求a的值。

9. 求函数y=log3(x2+6x+10)单调性和值域。

10. 验证对数函数的凹凸性：函数f(x)=logax(a>0,a?1)，x1,x2是任意两个正实数，则

当a>1时，f(2x1x2f(x1)f(x2)；

)22x1x2f(x1)f(x2)。

)22当0