习题2.1教学设计及教案分析

指数函数及其运算专题复习

---尤富永

1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质；

2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；

3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用．

1．根式的性质

(1)(a)＝a. (2)当n为奇数时a＝a. 当n为偶数时a＝{a

nnnnnna－a

a

. 2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正整数指数幂：a＝a·a·…·na (n∈N)．

个②零指数幂：a＝1(a≠0)．

1－p*③负整数指数幂：a＝p(a≠0，p∈N)．

0n*a④正分数指数幂：a＝a(a>0，m、n∈N，且n>1)．

⑤负分数指数幂：a－＝mnnm*mn1man＝1 (a>0，m、n∈N，且n>1)．

*nam⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的性质

①aa＝arsrsr＋s(a>0，r、s∈Q)；

②(a)＝a(a>0，r、s∈Q)；

③(ab)＝ab(a>0，b>0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

rrrrs

y＝ax

a>1

0

图象

定义域

值域

(1)R

(2)(0，＋∞)

(3)过定点(0,1) (4)当x>0时，y>1；

性质

(5)当x>0时，0

x<0时，0

x<0时，y>1 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数

高频考点一

指数幂的运算

3a3b2ab214例1、化简：(1)b1213b13(a>0，b>0)；

1272(－)3＋0.0022－10(5－2)－1＋(2－3)0.8(2)

13解

(1)原式＝ab2a(－23b13231312＝a3111263b111233＝ab－1. b12(2)原式＝27101)＋＋1－85－2500

18212(－)3＋＋1－10(5+2)27500＝

4167＝＋105－105－20＋1＝－. 99【感悟提升】(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

233【变式探究】

(1)－33－π0＝_______________________________. 8

12(2)()·4－8答案

(1)0 (2)

514ab－1－12＝________. 6415327345(2)3335325－－1＝3解析

(1)原式＝－3－1＝－－11000810222＝0. 2×4×ab(2)原式＝3310ab223232322115218＝. 5高频考点二

指数函数的图象及应用

例2、(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(

)

A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．0

答案

(1)D (2)

【感悟提升】

(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．

【变式探究】(1)如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.某指数函数y＝ax (a>0，且a≠1)经过点E，B，则a等于(

)

A.2 B.3 C．2 D．3 (2)已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(

) A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0 C．2－a<2c D．2a＋2c<2 答案

(1)A (2)D 解析

(1)设点E(t，at)，则点B坐标为(2t,2at)．因为2at＝a2t，所以at＝2.因为平行四边形OABC的面积＝OC×AC＝at×2t＝4t，又平行四边形OABC的面积为8，所以4t＝8，t＝2，所以a2＝2，a＝2.故选A. (2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，

∵af(c)>f(b)，结合图象知

00，

∴0<2a<1. ∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，

∴f(c)<1，∴0

又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，

∴2a＋2c<2，故选D. 高频考点三

指数函数的图象和性质

例3、(1)下列各式比较大小正确的是(

) A．1.72.5>1.73B．0.6－1>0.62 C．0.8－0.1>1.250.2D．1.70.3<0.93.1 352525(2)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．

555答案

(1)B (2)a>c>b 232

∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，

∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；

D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，

∴1.70.3>0.93.1，错误．故选B. 2(2)∵y＝x为减函数，

52525∴<即b

5535a5232又＝c2255353＝>0＝1，

222

∴a>c，故a>c>b. 12x－7，x<0，【变式探究】设函数f(x)＝x，x≥0，A．(－∞，－3) C．(－3,1) 答案

C 11111解析

当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，即a<8，即a<－3，因为0<<1，22222所以a>－3，此时－3

例4、设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．

(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；

3(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在上的最大值是14，则a的值为(

) 21A. B．1 3C．3 1D.或3 3B．(1，＋∞)

若f(a)<1，则实数a的取值范围是(

) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

答案

(1)(－∞，4] (2)D mm解析

(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，]22上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在．

(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1 ＝(t＋1)2－2. 1当a>1时，因为x∈，所以t∈[，a]，

a1又函数y＝(t＋1)2－2在，a上单调递增，

a所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．

当0

又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，

11则ymax＝(＋1)2－2＝14，解得a＝(负值舍去)．

a3

1综上知a＝3或a＝. 3高频考点五、换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用

11例5、(1)函数y＝x－x＋1在区间上的值域是________．

421－x2＋2x＋1(2)函数f(x)＝的单调减区间为________________________________．

2 (2)设u＝－x2＋2x＋1，

1∵y＝u在R上为减函数，

21－x2＋2x＋1∴函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．

2又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，

∴f(x)的减区间为(－∞，1]．

3答案

(1)，57

(2)(－∞，1] 4【特别提醒】(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．

【方法与技巧】

1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值，再进行比较．

2．指数函数y＝ax (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0

1.【2016高考新课标3理数】已知a2，b4，c25，则（ ）

（A）bac （B）abc （C）bca （D）cab

【答案】A 432513

【解析】因为a244b，c2554a，所以bac，故选A．

【2015高考天津，理7】已知定义在R

上的函数fx2xm4323251323231

（m为实数）为偶函数，记af(log0.53),bflog25,cf2m

，则a,b,c

的大小关系为( ) （A）abc

（B）acb

（C）cab

（D）cba 【答案】C

3x1,x1【2015高考山东，理10】设函数fxx,则满足ffa2fa的a取值范2,x1围是（ ）

（A）,1 （B）0,1 （C）, （D）1, 【答案】C 2323fa2a1ffa2faa1【解析】当

时，

，所以，

，即a1符合题意. 当a1

时，fa3a1 ,若ffa2fa

，则fa13a11,a

，即：23

，22,a1 ,故选C. 所以3

适合题意综上，a

的取值范围是3（2014·福建卷）若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图1­1所示，则下列函数图像正确的是(

)

图1­1

A

B

C

D 【答案】B

v（2014·江西卷）已知函数f(x)＝5，g(x)＝ax－x(a∈R)．若f＝1，则a＝(

) A．1 B．2 C．3 D．－1 【答案】A

【解析】g(1)＝a－1，由f＝1，得5|a－1||x|2＝1，所以|a－1|＝0，故a＝1. 1111（2014·辽宁卷）已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则(

) 3323A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a

【答案】C

111111【解析】因为0log＝1，所以c>a>b. 332322（2014·山东卷）设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2，x∈}，则A∩B＝(

) 12xA． B．(1，3) C．时，函数y＝x与y＝a(a>0)的图象有交点，则a的取值范围是(

) 2x1A.，2 21C.，2 41B.，2

21D.，2

4

122解析：选B 当a>1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足·2≥a，即1

2

12111当0

2．已知a＝2，b＝0.4，c＝0.4，则(

) A．a>b>c

C．c>a>b

B．a>c>b

D．b>c>a

0.20.60.20.20.6解析：选A 由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.4>0.4，即b>c；因为a＝2>1，b＝0.4<1，所以a>b.综上，a>b>c. e－e13．已知函数f(x)＝x－x，若f(a)＝－，则f(－a)＝(

) e＋e21A.

21C.

4x－x0.20.2x－x1 B．－

21 D．－

4e－e1解析：选A ∵f(x)＝x－x，f(a)＝－，

e＋e2e－e1∴a－a＝－. e＋e2－aaa－ae－ee－e－1＝1. ∴f(－a)＝－aa＝－a＝－22－ae＋ee＋ea－a12x－7，x＜0，4．设函数f(x)＝x，x≥0，A．(－∞，－3)

C．(－3,1)

若f(a)＜1，则实数a的取值范围是(

)

B．(1，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

5．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m－m)·4－2＜0恒成立，则实数m的取值范围是(

) A．(－2,1) C．(－1,2) B．(－4,3) D．(－3,4) 2xx1x2解析：选C 原不等式变形为m－m＜，

21x∵函数y＝在(－∞，－1]上是减函数，

21x1－1∴≥＝2，

221x22当x∈(－∞，－1]时，m－m＜恒成立等价于m－m＜2，解得－1＜m＜2. 26．已知函数f(x)＝ln1－x的定义域是(1，＋∞)，则实数a的值为________．

2解析：由题意得，不等式1－x>0的解集是(1，＋∞)，

2由1－x>0，可得2>a，故x>log2a，

2由log2a＝1得a＝2. 答案：2 7．已知函数f(x)＝a________．

解析：∵|x＋1|≥0，函数f(x)＝a(x)＝a|x＋1||x＋1||x＋1|aaax(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的大小关系是(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a>1.由于函数f

在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(1)．

答案：f(－4) >f(1) 8． y＝2·a|x－1|－1(a>0，a≠1)过定点________．

解析：由题根据指数函数性质令|x－1|＝0，可得x＝1，此时y＝1，所以函数恒过定点(1,1)．

答案：(1,1) 9．化简下列各式：

3770.510－－20(1)2＋0.1＋23－3π＋；

489273(2) 722a·a－3÷ 13a－3·a－1. 212564－3－3＋37

解：(1)原式＝2＋2＋0.1274895937＝＋100＋－3＋＝100. 316483(2)原式＝

3＝

767272323÷ a·a312a32·a12

a÷ －16a86

43＝a÷a＝a＝a. |x＋b|10．已知函数f(x)＝a(a>0，b∈R)．

(1)若f(x)为偶函数，求b的值；

(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件．

解：(1)∵f(x)为偶函数，

∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)．

即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0. x＋b，x≥－b，(2)记h(x)＝|x＋b|＝－x－b，x<－b.

①当a>1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，

即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，

∴－b≤2，b≥－2. ②当0

∴f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数时，a，b应满足的条件为a>1且b≥－2.