习题1.2优质教案设计

一堂课后习题的教学设计分析

汪所

问题是数学学习的心脏，数学离不开问题和解答。习题是“问题和解”的主要载体，因此习题教学是数学教学的重要环节。通过习题课的教学不仅是对学生的知识的一个查漏补缺而且能够提升学生的数学思维品质。所以习题课的教学中应该着重与启迪学生思维的培养和数学思想的培养。

1、提出问题：

人教版高中数学必修一第一章函数的概念习题1.2B2：画出定义域为x3x8,x5，值域为y1y2,y0的一个函数图像。

（1）将你的函数图像和其他同学比较有什么差别吗？

（2）如果平面直角坐标系中的点P(x,y)的坐标满足3x8,1y2，那么其中哪些点不能在函数图像上。

问题1：函数图像上的定义域和值域又怎样的限制条件？

（设计意图：分析题意对学生思维启发加强学生定义域意识）

开始很多学生不知所措，受思维局限性头脑中总想着一次函数、二次函数以及反比例函数，最后都发现不可能构造出一条直线或者一个抛物线。通过十分钟的课堂思考和讨论最终得出了下列的几种方案如下图：

图2

图1

图4

图3

问题2：上述几种图像是否为函数？它和一次函数、二次函数图像有什么区别？（设计意图1、培养学生读图用图意识，体会图像直观性在数学学习中的地位和作用；2、学生通过对比加深对分段函数以及分段函数图像的理解：第一分段函数还是函数，它的定义域和值域分别为每一段取值范围的并集；第二作分段函数图像时应先确定分段点的位置，然后再分别作出每段函数的图像，注意接点处的虚实保证不重复不遗漏）

问题3：能否利用上述图像构造出一个函数满足上述条件？

（设计意图：体会函数的不同表示法之间的区别与联系，进一步感受数形结合的数学思想。）

2、教学反思：此题选自于教材，就问题本身而言并不是太难，关键就是要打破学生的思维定势，让刚进入高中学习的学生敢于动手和尝试，要让学生体会到函数在不同的定义域内可以有不同的对应关系，即对对应关的函数概念的深刻认识。因此函数的表现方式也就不唯一，从而图像也可以是曲线直线以及其它的不规则曲线，还可以是线段。函数作为数学学习的主线贯穿数学学习的始终，而学习好函数的一个最有效的方式就是利用图像的直观性，以形助数帮助学生直观分析出问题的关键以及解决的思路和方法，最后用以数解形的方式呈现出问题的本质。因此作图时学习函数的关键，在教学过程中应该逐步培养学生作图、识图和用图的观念。最后设计的问题3可以看作是对学生的构建思维的培养，通过培养这种意识最终体会函数模型与实际的紧密联系。

3、能力提升：

人教A版必修一第二章基本初等函数习题2.2B-5：（1）试着列举几个满足“对定义域内任意实数a,b，都有f(ab)f(a)f(b)”的函数例子; (2)试着列举几个满足“对定义域内任意实数a,b，都有f(ab)f(a)f(b)”的函数例子. 并说出上述函数具有哪些共同性质？

（设计意图：细心的读者不难发现很多参考书对上述问题的条件进行适当的变形，编制出了很多关于抽象函数的问题，并且还可以对其单调性、奇偶性给出相关证明。但是很多学生对这种看似抽象的问题很难如题，因此在教学过程中可以结合具体函数的例子，也就是数学中的常用解决法——赋值法或者成为特值法。）

例如说：在问题一中取对数函数f(x)logax(a0,a1)，那么利用对数函数的性质很容易得出：f(ab)f(a)f(b)这一性质。其实我们还可以发现在上述等式中取ab1得到f(1)0的结论，这与对数函数恒过点(1,0)吻合。

那么在问题二中类似的取函数f(x)ax(a0,a1)刚好符合上述性质。

当然很多资料对上述条件加以限制例如：在问题二中增添条件“x0,f(x)1”

或者“x0,f(x)1”等还可以证明出函数具有单调递减性，这恰与指数函数底数a1时的相关性质吻合。

基于上述分析我提出了一个课后思考题：“结合指对数函数的相关性质，对上述问题增添一定的条件，对于该类函数还能够得出哪些结论，并证明你的结论”

4、课堂练习：已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(mn)f(m)f(n),且当x0时,0f(x)1. (1)证明:f(0)1,且x0时,f(x)>1; (2)证明: f(x)在R上单调递减; 5、课堂小结

我国著名的数学家华罗庚教授曾经说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合千般好，隔离分家万事非”由此可见数与形就是一对孪生兄弟，相辅相承。但是二者又有着本质上的区别，形虽然具备直观性优势但是它比较粗略、不易表达，数学需要形式化的展现。因此只有在直观图形旁边加以简洁的数学描述才能更好的体现出数学抽象化和形式化得魅力。因此在平时的教学过程中应该逐步培养学生的图形直观意识和形式化的逻辑表达。除此之外本节课还可以让学生体会到构建思想，在解决某些抽象问题是可以构造出满足条件的具体实例，最终达到解决问题的目的。

参考文献: 1.吴宝莹，王良骏.函数问题寻解

以形助数逞能[J].中学数学 2013.9 2.普通高中课程标准实验教科书数学必修1.人民教育出版社