信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆课件配套优秀教案设计

以椭圆“第三”定义为背景的试题探究

一、教学目标

（1）知识与能力目标：归纳、总结椭圆的“第三”定义，并且能在解题过程中灵活运用．

（2）过程与方法目标：通过对椭圆“第三”定义的探究，培养学生的观察能力和探索能力；使学生进一步掌握椭圆的几何性质，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法．

（3）情感、态度与价值观目标：通过让学生大胆探索椭圆的定义，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识，培养学生勇于探索的精神．

二、教学重点、难点

（1）教学重点：椭圆“第三”定义的探索、归纳．

（2）教学难点：在解题过程中对定义的灵活运用．

三、课型:习题课

四、课时:1课时

五、教学方法:

引导发现法、探索讨论法

1、引导发现法：用课件演示动点的轨迹，启发学生归纳、概括椭圆“第三”定义．

2、探索讨论法：由学生通过联想、归纳把原有的求轨迹方法迁移到新情况中，有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点，发挥其创造性．

引导发现法和探索讨论法是适应新课程体系的一种全新教学模式，它能更好地体现学生的主体性，实现师生、生生交流，体现课堂的开放性与公平性．

六、教学流程设计: 复习回顾----例题探索---定义形成

实际应用----课堂训练---课堂小结

七、教学手段：利用多媒体课件教学，化抽象为具体，降底学生学习难度，增强动感及直观感，增大教学容量，提高教学质量．

八、学法指导

1、动手尝试；2、仔细观察；3分析讨论；4、抽象出概念，推出方程．这样有利于学生发挥学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程． 九、教学内容: （一）复习回顾所学过的椭圆的定义

第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．即PPPF1PF22a．

第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数e的动点M的轨迹叫做椭圆．定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数eca称为离心率．

（二）例题探索,建构新知

教材p41例3:设A,B的坐标分别为(-5,0)，(5,0)．直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积是49，求点M的轨迹方程．

结论:M的轨迹方程为x2y2251001(x5)．

9

（三）小组讨论，定义形成

椭圆定义的再认识

教师提问：1、对于任意椭圆（以x2y2a2b21(ab0)为例），若A、B两点分别为其左右顶点，P为异于左右顶点的一个动点，kPAkPB是否为定值？

2、

推广到一般情况下，若A、B两点关于原点对称，P是椭圆x2y2a2b21(ab0)上异于A、B的一点，若kPA,kPB存在，则kPAkPB是否为定值?如果是，请证明．

（四）探究定义、形成定义

如图、设P(x1,y1),B(x2,y2),P,B中点M(x0,y0)．

x22则有1a2y1b21(1)b2x2，由(1)-(2)可得kMOkPB2a2．

2a2y2b21(2)又因为kMOkPA，从而kPAkPBb2a2．

强调（点差法）的运用．

注:kMOkPBb2a2也是一个重要结论．

,当椭圆方程为y2x2a2同理a2b21(ab0)时,kPAkPBb2．

归纳定义: 在椭圆x2x2m2n21(mn)上有A、B两点，且关于原点对称，

3P是椭圆上异于A、B的一点，若kPA,kPB存在，则kn22)PAkPBm2．

圆方程解得B(2(3k2(k22)12k2,2k(k22)12k2)．

2k32（五）应用定义,实际演练

于是k(k22)12k2k12k21PB2(3k22)，因此kPAkPB1．

，B，P是椭圆x2例1．已知Ax2a2b21(ab0)上不同的三点，(k22)12k22k12k2解法二: 且A,B的连线过坐标原点．若直线PA,PB的斜率的乘积为14，设P(x1,y1),B(x2,y2),A(x1,y1),C(x1,0)．

则该椭圆的离心率为 x221则有y11(1)1答案:e3．(b23342两式相减可得kk．

2e1a242)．

xBABP2224y221(2)2

2.

椭圆M:x2y2例又kBAyCyAa2b21(ab0)长轴上的两个顶点A、B，xy1kx．

CA2x12点P为椭圆M上除A、B外的一个动点，若QAPA0且1QBPB0,则动点Q在下列哪种曲线上运动( ) 则kPBk21k,从而kPBkPA1，即证．

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

2

变式:(2014四川理,节选)在椭圆x2

6y221中，F为左焦点．T

为直线x3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q．证

明OT平分线段PQ．

解法一:(高考标答)设T(3,m),P(x1,y1),Q(x2,y2),

PQ中点N(x0,y0)PQ方程为xmy2，联立椭圆方程得: 例3．(江苏高考题节选)如图已知椭圆方程x2y2(m23)y24my20．故24(m21)0

421，过坐标原点的直线交椭圆与P,A两点,其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC并延长交椭圆与点B,设直线PAy1y4m2m23．于是N(6,2m)km的斜率为k,求证:对任意k0,PAPB．

yy22m23m23．从而OT3kON,1m23解法一:(高考标答) 故O,N,T三点共线,即证．

将直线PA方程ykx代入x22

4y21，解得解法二:设T(3,m),P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点N(x0,y0)

x2x221112k2．则且y621(1)由(1)(2)作差可得k1ONkPQ(3)

p(22kx222312k2,12k2)．于是6y221(2)A(22k2又kTFm且kTFkPQ1,故kPQ112k2,12k2)，C(12k2,0)，

m(4)．

由(3)(4)式联立可知故kyyCkONmABkACAxk，则其方程为yk(x2)，代入椭3kOT,即证．

AxC2212k2

例3.

A,Ax2y212为椭圆951长轴的左右端点，O为坐标原点,S,Q,T为椭圆上不同于A1,A2的三点,直线QA1,QA2,OS,OT围城一个平行四边形OPQR,则|OS|2|OT|2= ．

解答:设直线OT,OS斜率分别为k1,k2．T(x1,y1),S(x2,y2)

故OT直线方程为yk1x,联立椭圆方程可得x245159k2．且由椭圆第三定义可知1kQA1kb2ak5QA221k29．

2从而由OT2x2y2(1k2)x245(1k1)111159k2．

15可知245(1(OS245(1k2)9k)2)159k2259(5,故29k)12OT2126k2OS1709k214．

15

教学设计说明

解析几何是高考一大热点，难点。所占分值高，主要考察学生运算能力以及平面几何的一些基本性质定理。对于某些学生而言，“计算量大”是他们难以逾越的鸿沟，甚至直接导致他们放弃。那么如何解决这个问题呢？我的看法是：没有捷径，必须知难而上，正面突击，“硬碰硬”的解决好运算问题。所以在平常教学过程中，一定让学生把每道题都按照最基本的思路，一步一步去算，去切身体会解析几何中“解析”两个字渗透的暴力美学，从而沉迷其中。

然而，如何在考试中拿到高分，是我们每个一线教师无法回避的一个问题。让学生扎实掌握基本功的前提下，掌握一些必要的技巧和常用二级结论，才能做到如虎添翼！我在平时拜读一些专家的文章所发现，其实大部分解析几何问题，都有他的出处和背景。在题目的牵引下，被动的算出结果，是大部分学生目前的状况；那么如果事先就对这个题目的命制背景了然于胸，再去做这个题，那自然又是另一种境界。例如本堂课所涉及到的椭圆“第三”定义．以及后面要做的专题<定点、定直线问题>，大多又是以极点、极线为背景，当通过这些特殊手段先找到

特解之后，再去证明，整个问题就豁然开朗，大幅度降低运算量．

以椭圆“第三”定义为背景的试题探究

一、复习回顾所学过的椭圆的定义

第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．即PPPF1PF22a．

第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数e的动点M的轨迹叫做椭圆．定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数eca称为离心率．

二、例题探究

教材p41例3:设A,B的坐标分别为(-5,0)，(5,0)．直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积是49，求点M的轨迹方程．

三、教师提问：

x221、对于椭圆a2yb21(ab0)，若A、B两点分别为其左右顶点，P为异于左右顶点的一个动点，kPAkPB是否为定值？

2、推广到一般情况下，若A、B两点在椭圆上并关于原点对称，x2y2P是椭圆a2b21(ab0)上异于A、B的一点，则kPAkPB是否为定值?如果是，请证明．

当椭圆方程为y2x2同理,a2b21(ab0)时,kPAkPB ．

四、归纳总结、形成定义．

椭圆的“第三”定义:

五、应用定义,实际演练

例1．已知A，B，P是椭圆x2y2a2b21(ab0)上不同的三点，且A,B的连线过坐标原点．若直线PA,PB的斜率的乘积为14，则该椭圆的离心率为 ．

x2y2例2．椭圆M:a2b21(ab0)长轴上的两个顶点A、B，点P为椭圆M上除A、B外的一个动点，若QAPA0且QBPB0,则动点Q在下列哪种曲线上运动( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

x2y21，过坐标例3．(江苏高考题节选)如图已知椭圆方程42原点的直线交椭圆与P,A两点,其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC并延长交椭圆与点B,设直线PA的斜22xy变式:(2014四川理,节选)在椭圆1中，F为左焦点．T62为直线x3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q．证明OT平分线段PQ．

x2y21长轴的左右端点，O为坐标原例4．A1,A2为椭圆95点,S,Q,T为椭圆上不同于A1,A2的三点,直线QA1,QA2,OS,OT围成一个平行四边形OPQR,则|OS|2|OT|2= ．

对任意k0,PAPB．

率为k,求证: