3.1 勾股定理教学设计范文

3.1勾股定理（1）

教材：（苏科版）义务教育课程标准实验教科书

数学八年级（上）

教 师

科 目

陆倩

数学

年

级

班

级

初二

初二（9）班

授课

时间

课 题

3.1勾股定理（1）

勾股定理是人类早期发现并证明的重要定理之一，沟通了“形”与“数”的桥梁。勾股定理的研究具有浓厚的历史底蕴，迄今为止约有500种证明方法。同时，勾股定理在人类生产，建筑，工程等方面都有广泛的应用价值.本节课是

教材简解

学生认识了三角形,学习了三角形的边角关系等相关性质之后展开的,揭示了直

角三角形三边之间的数量关系.为学生以后的三角函数学习做下铺垫，在整个的学习过程中,课程设计了动手操作和类比分析等环节,旨在培养学生的探究能力和创新意识，是进行研究性学习的好素材。

1．让学生学会用数学的眼光观察世界，猜想直角三角形三边的特殊关系，

感受数学探究的乐趣；经历从特殊到一般的探索过程，体验数形结合的思想，

发展学生的逻辑性思维与创造力。

教学目标

2. 理解并掌握勾股定理的两种证明方法---毕达哥拉斯法和赵爽弦图法，感受数学文化的博大精深，并能运用勾股定理解决直角三角形边的计算问题，将数学研究与生活实际相联系，感受数学学习的价值。

3．在勾股定理的探索、证明过程中加强学生数学学习的兴趣，培养学生善于观察、乐于思考的习惯，锻炼学生的动手实践能力。

发展学生的逻辑性思维，让学生体会和感受璀璨的数学文明;让学生在求知的过教学重点

程中感受创新的美妙

教学难点

激发学生探索验证勾股定理的兴趣,调动学生动手操作以及探究未知事物的积极性

教学方法

启发式与探究式结合

教学手段

多媒体投影、计算机辅助教学

1

从生活实例和数学文化入手,激发学生研究勾股定理的兴趣;借助课前预习的面积计算(割补法),引导学生提出直角三角形三边关系的猜想;借助数形结合设计思路

的思想,探索勾股定理的验证方法,规范勾股定理的表达,从数学的严谨角度出发,探索勾股定理是否适用于锐角三角形或钝角三角形;深入探索及拓展勾股定理的验证方法,及时巩固勾股定理的内容及应用。

教学过程设计

教师活动

学生活动

学生交流对勾股定理的认识

设计理念

激发学生的听课兴趣.

激发学生的探索欲望,让学生在感受数学文化的过程中领悟数学的魅力.

一．

介绍背景,激发学习兴趣

（由诺贝尔奖引入）提问：你们知道数学上的最高奖项吗？

预案：

学生回答：不知道

老师回答：数学上的最高奖项是菲尔兹

奖，这个奖每四年在国际数学家大会上颁布一次。2002年的时候，国际数学家大会在北京召开，这是第一次在发展中国家召开，被誉为数学界的奥运会，而当时大会采用的就是这样的一个会徽。

这个图案可是大有来头呢，它是我国汉代数学家在证明勾股定理时运用的图案。

提问：你们有听过勾股定理吗？

预案：

学生回答：勾三股四弦五……

老师回答：相信通过今天的学***家将

对勾股定理有更深刻的了解，其实，在古希腊有一位伟大的数学家，他还是哲学家兼天文学家，他就是毕达哥拉斯，他非常擅长从生活中发现问题并解决问题，相传在2500年前，有一天他到朋友家去做客，发现家里的地砖图案隐藏着直角三角形中三边的某种特殊关系，

今天我们将踏着伟人的足迹一起去探寻这种三边关2

系。

二．

猜想探索，初识定理

【活动1】：计算发现，整理归纳（课前预习）

网格纸中暗示了直角三角形三边怎样的关系？

相关条件：每个小方格的边长都为1，直角三角形的两直角边长分别记为a、b,( a

预设问题：

问题1:分别用a、b、c表示正方形的面积，用什么方法？

预案：

学生回答：割补法

请学生上来演示

问题2:探索每幅图里A、B、C的关系，用a2、b2、c2来表示. 问题3：观察以上所列出的等式，你有何发现？

【发现】：

a2+b2=c2

问题4：猜想直角三角形两直角边与斜边有什么关系？这个关系是不是对于任意的直角三角形成立呢？

预案：

学生回答：直角边的平方和等于斜边的平方

【活动2】：初步探索，验证猜想

认清目标：给出一个一般的直角三角形，分别用a、b、c来表示∠A、∠B、∠C的所对的边，我们要验证直3

学生交流用割补法解决不规则图形的面积

在三个问题的引领下，学生逐渐发现三个正方形面积间的关系，转化为直角三角形的三边关系，进而提出一般直角三角形三边关系的猜想.

角三角形三边关系的猜想，就是要去证明a2+b2=c2

指引思路：如何验证这样的一个有关数的代数等式？我们可以将数的问题转化到形上去. 预案：

问题1：如何去构造一个这样的图形？

我们可以借助赵爽弦图来证明勾股定理。

问题2：观察这幅图，你看到了哪些基本图形？

学生回答：图中有四个全等的直角三角形，一个小的正方形和一个大的正方形。

问题3：图中直角三角形较短的直角边记为a,较长的直角边记为b,斜边记为c,那么小的正方形边长怎么表示？

学生回答：小正方形的边长可以用b-a表示

问题4：要证明的代数等式：a2+b2=c2，其中c2代表什么？

学生回答：c2代表的是大正方形的面积。

问题5：大正方形的面积还能用别的方式表达吗？

学生回答：可以用四个直角三角形的面积和加上一个小正方形的面积。

也就是我们有两种不同的表达方式去表达大正方形的面积。

请同学上黑板演示这两种不同的大正方形的面积表达式，其余同学写在草稿纸上。

列出等式：c2=2ab+(b-a)2,化简，合并同类项，移项，得出等式：a2+b2=c2. 【阶段小结】

在任意的直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方. 【书面表达】

4

学生思考如何利用图形证明数的恒等式.

在这些问题的引领下,学生逐渐发现大正方形面积有两种表达方式,利用这两种表达方式可以证明勾股定理.

学生在草稿纸上利用完全平方式，移项，合并同类项写下演算过程,证明猜想.

带领学生去探索知识经验形成的过程，让学生体验探索未知的乐趣.

问题：结合图形，用符号语言来表述勾股定理？

预案：

学生答：在Rt△ABC中，a2+b2=c2（错误）

纠正回答：学生没有点明哪条边是斜边。

学生答：在Rt△ABC中，∠C=90°，a2+b2=c2（正确）

点出：这就是我们今天要学习的勾股定理，古人习惯将较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，而这个定理很好地刻画了直角三角形边的数量关系，所以称为勾股定理。

指示：当我们已知直角三角形两条直角边的时候，我们可以用上述等式去求斜边，当我们已知一条直角边和斜边的时候，我们可以通过等式的移项、变形求另一条直角边（如a2=c2-b2, b2=c2-a2）

三．

一问多证，创新激思

【活动1】：论证从严，考虑全面（课前预习）

问题：观察上图，判断三角形的三边长是否满足a2+b2=c2

指示：勾股定理适用于直角三角形中，那它适用于锐角三角形和钝角三角形吗？

【活动2】：举一反三，融会贯通

勾股定理的证明方法迄今为止有500多种，我们刚刚只是学习了其中的一种，接下来我们再想想能不能构造出别的证明勾股定理的图形？

预案: 如图所示: 5

学生尝试用符号语言表达勾股定理，并在老师的建议下修改自己已有的答案.

学生在思考定理适用范围的基础上，探究勾股定理对于锐角三角形或钝角三角形是否适用.

让学生学会利用数学的语言去进行表达.

让学生充分感受数学的严谨性.

让学生产生研究勾股定理证明方法的兴趣，让学生充分感受到数学的无穷魅力.

问题1：观察这幅图，你看到了哪些基本图形？

学生回答：图中有四个全等的直角三角形，一个小的正方形和一个大的正方形。

问题2：图中直角三角形较短的直角边记为a,较长的直角边记为b,斜边记为c,那么大的正方形边长怎么表示？

学生回答：小正方形的边长可以用b+a表示

问题3:我们刚刚是如何利用图形去解决勾股定理的证明问题的？

学生回答：用两种不同的表达方式表达了大正方形的面积。

问题4：大正方形的面积怎么用公式求？

学生回答：边长的平方,为(a+b)2。

问题5：如何间接地表示大正方形的面积？

学生回答：大正方形的面积可以看成小正方形的面积加上四个全等的直角三角形的面积。

请同学上黑板演示这两种不同的大正方形的面积表达式，其余同学写在草稿纸上。

列出等式：(a+b)2=2ab+c2,化简，合并同类项，移项，得出等式：a2+b2=c2. 拓展：

将大正方形沿对角线分割一半，你能利用如下图形证明勾股定理吗？留作课后思考

四．

课堂检测，及时巩固

例1：判断: 若a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 （ ）

6 学生在之前学习的基础上，沿用前面的思想方法继续探究证明勾股定理的第二种方法.

学生对题目加以摘录，留作课后思考.

学生口述例2的答案. 学生模拟教师在黑板上例3的书写格

让学生对数学学习的探索和研究有更强的欲望和信心.

若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2＋b2＝c2（ ）

若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a2＋b2＝c2（ ）

例2：求下列直角三角形中未知边的长：

式，自己加以摘录和理解，作为本节课的重点.例4作为本节课习题的难点和易失分点，要求学生对勾股定理17的前提有清楚的认x85识.

x12

学生在教师的提问

下，回顾今天所学例3：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，的知识，进而归纳求BC 本节课的知识技例4：一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边能，思想方法和情长的平方为_________．

感体验.

学生课后完成作五．

自我总结，布置作业

业，有疑虑的问题提问总结：

做好标记. 1、勾股定理的使用前提是什么？

2、直角三角形中三条边的关系是什么？

3、本节我们主要涉及到哪些数学思想？

布置作业：

必做题：

1.在Rt△ABC中，∠C=90°,a,b,c分别为∠A，∠B，∠C所对的边

(1)已知：a=3，ｂ=4，求c；

(2)已知：c=25，b=15，求a；

2.一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（

）

A．斜边长为25

B．三角形周长为25 C．斜边长为5

D．三角形面积为20 3.在Rt△ABC中，∠C=90°,a,b,c分别为∠A，∠B，∠C所对的边

(1)若a=5,b=4,求c的长；

(2)若三条边中有两条边的长分别为5和4，求第三边的平方. 选做题：

搜集有关勾股定理证明的其他方法，以小组的形式进行汇报和展示.

通过这些问题的引导和归纳，让学生对对数学学习的思想方法有更全面的认识，情感体验得到升华.

考虑到学生的差异性，所以课后作业分为必做题和选做题，适应不同层次学生的需求.

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