1.1 整数和整除的意义教学设计范文

第一章

数的整除

第1节

整数和整除

1.1

整数和整除的意义

正整数：物体的个数：1，2，3，…

零：没有物体或计算过程中的基准数

负整数：正整数前添上“—”号

零和正整数统称为自然数（natural number）

正整数、零和负整数统称为整数（integer）

自然数又称为非负整数（按正负分），0既不是正数也不是负数

正、负整数表示相反量：如生活中的左右，前进后退，收入支出

Page 2中注意“*”号，特别说明（本章中无特殊说明整数部傲视正整数）

补充练习：如果a表示一个自然数，且a≥2，写出：

（1）紧挨着它，在它后面的两个连续自然数；

（a + 1，a + 2）

（2）紧挨着它，在它前面的两个连续自然数；

（a – 1，a – 2）

问题：有多少个自然数？是否有最小的自然数？是否有最大的自然数？

那么正整数呢？负整数呢？整数呢？

（自然数无数个，最小为0，无最大；正整数无数个，最小为1，无最大；负整数无数个，无最小，最大为

– 1；）

思考：班级组织假日小队，分成人数相等的几个小组，可以怎样分？

（人数相等：平均分）

观察：以下两组算式从被除数、除数和运算结果看有何相同和不同之处？

（1）

（2）

24÷2 = 12 6÷5 = 1.2

21÷7 = 3 17÷10 = 1.7 84÷21 = 4 35÷6 = 5……5

结论：相同：两个框中被除数和除数都是整数；

不同：（1）中的商也是整数，余数为0；（2）中的商是小数或除不尽（余数不为0）

整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a a是被除数，b为除数，若商为整数时称被除数a能被除数b整除，反之除数b能整除被除数a 文字描述（1）（2）中的数学式子（根据情况增加题量）

补充例题1

下列哪个算式的被除数能被除数整除？

（注意读题）

27÷5

48÷3

10÷4 解：因为27÷5 = 5……2

注意解题格式

48÷3 = 16

商能写成小数形式的写小数，不能的写成余数形式

10÷4 = 2.5

所以，被除数能被除数整除的算式是48÷3 补充例题2

下列各组数中，第二个数能整除第一个数的有哪些？

（1）7和42；（2）27和6；（3）245和15；（4）144和16 补充例题3

语句“因为2.6÷1.3 = 2，所以说2.6能被1.3整除”是对还是错？为什么？

强调概念中整除的条件：除数和被除数都必须为整数，结果（商）也必须为整数

补充例题4

正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a

辨析：整除与除尽

相同点：除尽与整除时余数都是0 不同点：整除的前提是除数与被除数必须是整数，

而除尽的除数与被除数可以是有限小数，

整除的商都必须是整数，除尽的商也可以是有限小数；

整除一定除尽，除尽不一定整除

课堂小结：整数的分类；整除的定义；如何学习概念（看重点，与已知的概念做对比）

书后练习：回家作业：

1.2

因数和倍数

思考：

用12块边长是1个单位长度的正方形分别可以拼成形状不同的长方形，在平面上有多少种不同的摆法？他们的长和宽各是多少个单位？

12÷1 = 12，12÷2 = 6，12÷3 = 4，12÷4 = 3，12÷6 = 2，12÷12 = 1 1、2、3、4、6、12都能整除12，它们都是12的因数

12能被1、2、3、4、6、12整除，12是它们的倍数

因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数（multiple），b就叫做a的因数（factor）（也可称为约数）

或者说：整数b能整除整数a，a就叫做b的倍数（multiple），b就叫做a的因数（factor）（也可称为约数）

只有在整除的条件下才有因数和倍数，它们是相互依存的，有对应关系，不能独立存在，a是b的倍数，反之b是a的因数，倍数a ≥

因数b，（如8是倍数，2是因数，应为8是2的倍数，2是8的因数）

例1

分别写出16和13的因数

解：16的因数有1，2，4，8，16；

法1：先找出能整除16的整数16÷1 = 16 13的因数有1，13；

法2：用积与因数的关系16 = 1×16 = 2×8 = 4×4 法2更简单，也不容易遗漏；一个数的因数是只有有限个

一个整数的因数中最大最小的分别是什么？

最小的是1，最大的是它本身

例2

写出2和5的倍数

解：2的倍数有2，4，6，8，10，…；

能被2整除的数2n （n为整数）

5的倍数有5，10，15，20，25，…；

能被5整除的数5n

某数与正整数1，2，3，4，…，n的积都能被该数整除；一个数的倍数有无数个

一个整数的倍数有多少个？有没有最大、最小的倍数？

（最小的倍数是它本身）

求一个数的倍数只要将这个数分别乘以1、2、3、4……

求一个数的因数要做到不重复、不遗漏，从最小的因数1找起，一直找到它本身

补充例题1

判断题：（1）任何一个正整数至少有两个因数（Ｆ）

（2）能被4整除的数一定是2的倍数（Ｔ）

（3）能整除4的数一定是6的约数（Ｆ）

补充例题2

在105、434、345、447、560这些数中，有因数2的是_____________________有因数3的是______________________，是15的倍数的是____________________ 补充例题3

在3的倍数中，是48的因数的数的和是多少？

课堂小结：

任何一个整数都是它本身的倍数也是它本身的因数（最大倍数，最小因数）

1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数

0是任何一个整数的倍数，任何整数都是0的因数（在非负整数范围内）

书后练习：回家作业：

1.3

能被2、5整除的数

我们常用的量词：双、对都表示什么含义？

2个

用筷子时总是2的倍数

思考：能被2整除的数有什么特征呢？

填图观察个位上的特征

结论：个位上是0、2、4、6、8的整数都能被2整除

能被2整除的整数叫做偶数（even number），不能被2整除的数叫做奇数（odd number）

正整数按照能否被2整除可以分为两类：偶数和奇数（数的奇偶性）

书左边的页码与右边的页码的特征

问题：（1）奇数的个位上的数字有什么特点？

（2）在连续的正整数中（除1外），与奇数相邻的是什么数？与偶数呢？

（3）相邻两个自然数相差几？相邻两个奇数呢？相邻两个偶数呢？

（4）奇数与奇数的和、差与积的结果是什么数？偶数与偶数呢？奇数与偶数呢？

思考：能被5整除的数有什么特征呢？

填图观察个位上的特征

结论：个位上是0、5的整数都能被5整除

问题：（1）即能被2整除有能被5整除的数有什么特点？

说明：由于整除一般限定在正整数范围内考虑，书上只介绍了正奇数偶数，当数扩展到整数范围也就是有负数和0时，0、– 2、– 4…也是偶数，– 1、– 3、– 5…也是奇数

补充例题1 一个三位数23x，求出所有满足已知条件的三位数

（1）能被5整除；（2）能被2整除；（3）即能被5整除又能被2整除；（4）不能被5整除也不能被2整除

补充例题2由数字3、0、2、8、5中的4个组成一个满足条件的4位数

（1）能被5整除的最大数；（2）能被2整除的最小数；（3）能被5整除但不能被2整除的最小数

补充例题3 判断题：（1）因为12÷6 = 2，所以12是倍数，6是因数

（2）一个数的因数一定比它的倍数小

（3）奇数的因数一定是奇数

（4）偶数的因数一定是偶数

思考：能被3整除的数有什么特征呢？

填图观察各个位数上的数字之和的特征

结论：一个数的各位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除

一个数的各位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除

补充例题4 三位数2x3能被3整除，x的最小值是，最大值是？

课堂小结：

要判别的数

要判别的数

取它的个位数

把各位上的数加起来

不能

不能

能不能被2能不能被3

或5整除

或9整除

能

能

原数能被原数不能被原数能被原数不能被

2或5整除

2或5整除

3或9整除

3或9整除

灵活掌握能被2、3、5整除的数的特征。

能被4整除的数的特征：末两位能被4整除。

能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差为11的倍数

第2节

分解素因数

1.4

素数、合数与分解素因数（1）

一个正整数有几个因数？（1、2、9、15、17、24、40的因数）

1只有1个因数；有些只有2个（如：2、3、5、…）；有些多于两个（如：4、6、10、…）

结论：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（prime number），也叫质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数（composite number）

1既不是素数，也不是合数，这样，正整数又可以分为1、素数和合数三类

学生举例：

10以内的素数：2、3、5、7；

20以内的素数：2、3、5、7、11、13、17、19；

100以内的素数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97；

整数的分类：按正负分（三类，正负号）；按奇偶性分（两类，能否被2整除）；按素数合数分（三类，因数的个数）

特殊：2是素数中唯一的偶数，最小的素数；最小的合数是4

例1 判断27、29、35和37是素数还是合数

补充例题1 判断题：（1）所有的素数都是奇数（F）2 （2）一个数的因数不是素数就是合数（F）1 （3）所有的偶数都是合数（F）2 奇数

素数

（4）两个正整数的积一定是合数（F）1

补充例题2 填图：自然数1至10中，哪些是奇数？哪些是素数？

补充例题3 按要求写出20以内两个连续自然数

（1）两个连续的素数；（2）两个数都是合数

补充例题4

18的因数有_____其中素数有_____；在1、2、3、6这四个数中，_____是____的倍数，____是____的因数；素数有_____，合数有_____，奇数有_____，偶数有_____

课后小结：整数的分类；1、2、4的特殊性；

课堂练习：回家作业：

1.4 素数、合数与分解素因数（2）

将6、24、60写成几个素数相乘的形式

623、242223、602235

结论：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数（prime factor）。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。

例2 把48、35、60分解素因数（短除法）

短除法步骤：①先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的素数开始）去除；

②得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；

③然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。

口算法：48 = 6×8 = 2×3×2×2×2 机算法：1334 = 2×667 = 2×23×29，25 2 = 625，25 2 = 676，用小于25的所有素数去除

48的所有素因数是___________________ 60的所有因数中，不用的素因数共有______________个

48和60相同的素因数是_____________________

巩固短除法：89、123、189、420、

补充例题5 用391个边长为1厘米的正方形拼成一个长方形，有几种拼法？为什么？

19 2 = 361，20 2 = 400，用2、3、……、19去除391都不能除尽，所以391是素数

一课一练中的问题

课堂小结：短除法大致步骤，格式，如何判断一个数是否为素数

1.5

公因数与最大公因数

班级共有18位女生，12位男生，建立志愿者小队，要求将全班同学分成人数相等的若干个小组，且每个小组中女生人数相同，问全班30位同学最多能分成几组？

由题意：每组中男生人数和女生人数分别相等，分成的组数能整除18和12，即为18和12的因数

18的因数为1、2、3、6、9、18 12的因数为1、2、3、4、6、12 18、12公有的因数为1、2、3、6，其中最大公有因数为6 因此全班学生最多可以分成6组，其中女生3人男生2人

结论：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数（common factor）；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数（greatest common factor）。

例1 求8和9的所有公因数，并求它们的最大公因数

解

8的因数有1、2、4、8；9的因数有1、3、9 8和9只有一个公因数1，因此8和9的最大公因数是1 结论：如果两（几）个整数只有公因数1，那么称这两个数互素

找出下列各组数中互素的有几组：3和9、4和7、17和34、15和16 例2 求18和30的最大公因数

解一

18的因数有1、2、3、6、9、18 30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30

分解因数法

18和30的最大公因数是6 解二

分解素因数

18 = 2×3×3

分解素因数法

30 = 2×3×5

公有的素因数是2、3，2和3的乘积6就是18和30最大公因数

解三

2 | 18

30

用公有的素因数除

3| 9

15

3

5

短除法

18和30的最大公因数是2×3 = 6 例3 求48和60的最大公因数

解

2 |

48

60

2 |

48

36

60

2 |

24

30

2 |

24

18

30

3 | 12

15

3 | 12

9

15

4

5

4

3

5

短除法

48和60的最大公因数是2×2×3 = 12 问题：求下列各组数的最大公因数：

（1）3和5；（2）18和36；（3）6和7；（4）8和15 从中可以发现怎样的规律？

补1已知两个数的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数

解：设这两个数为a、b，a = 6m，b = 6n，（m、n为整数，且互素）

a + b = 48 =>

6m + 6n = 6（m + n）= 48 => m + n = 8；

m = 1，n = 7或m = 3，n = 5

=>

a = 6，b = 42或a = 18，b = 30

课堂练习：

课堂小结：

（1）a,b互素最大公因数为1；

（2）a是b的因数最大公因数为a；

（3）a，b即不互素，也不是因数关系，求最大公因数可用短除法，所有公因数之积；

1.6

公倍数与最小公倍数

回忆如何求12、18、24的最大公因数，

用短除法，短除到三个数互素即可（不需要两两互素）

上海南站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔4分钟发车，如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6点同时发车，那么至少再过多少时间它们又同时发车？

早晨6点以后地铁1号线发车间隔时间是3的倍数，而轨道交通3号线发车的间隔时间是4的倍数，在同时发车的间隔时间既是3的倍数又是4的倍数，是3、4的公倍数，至少（即求最小公倍数）

列举法：3的倍数：3、6、9、12、15、18、21……

4的倍数：4、8、12、16、20、24……

它们的最小公倍数是12

例1求18和30的最小公倍数

解法一：（列举法）18的倍数：18、36、54、72、90、108、120……

30的倍数：30、60、90、120、150……

解法二：（分解素因数法）18 = 2×3×3 30 = 2×3×5

公倍数中既包括18的素因数有包括30的素因数，相同的素因数（公因数）只取一个

方法：先取出所有的公因数，再取各自剩余的素因数，将这些数相乘即得最小公倍数

解法三：（短除法）

2 | 18

30

短除法，用公有的素因数除

3 | 9

15

必须要做到结果两两互素

3

5

未互素的两数继续短除，已经互素的照抄

练：（1）求36和84的最小公倍数；（2）求45和30的最小公倍数

如何求公倍数，有没有最大、最小公倍数？

补1求12、18和24的最小公倍数

解法一：（分解素因数法）

12 = 2×2

×3 18 = 2

×3×3 24 = 2×2×2×3

解法二：2 | 12

18

24

用短除法，）

3 | 6

9

12

必须要做到结果两两互素

2 | 2

3

4

未互素的两数继续短除，已经互素的照抄

1

3

2

练：求10、12和15的最小公倍数

看书第30页

课堂练习：

课后小结：求最小公倍数的方法，注意求最大公因数和最大公倍数的相同点和不同点

短除法

相同点

不同点

最大公因数

用最小的公有素因数去除

（1）除到三个数互素即可

（2）把所有除数相乘即可

（1）除到三个数互素即可

（2）把所有除数及结果全部相乘

最小公倍数

思考：第30页

（1）两个数只要结果互素即可，三个数结果要两两互素

（2）3、4、5的公倍数；

若都还剩1个呢？3、4、5的公倍数加1

本章小结、复习：

按正负分：正整数、0、负整数

一个整数

能否被2整除：奇数、偶数

数的整除

因数的个数：1、素数、合数

整除：因数、倍数

整数间的关系

因数：两数互素，三个数两两互素

公因数（最大）、公倍数（最小）

解决“绿面书”中的问题